试判断两个数列的倒数和的敛散性

KeyTo9_Fans

数列$a=\{1,2,3,5,7,9,11,14,17,20,23,26,29,32,35,40,45,...,110,115,122,...\}$满足
$$a(1)=1，a(2)=2, a(n)=a(n-1)+a(\lfloor \log_2n\rfloor)$$
数列$b=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, ..., 66, 69, 72,...\}$满足$$b(1)=1，b(2)=2，b(n)=b(n-1)+b(\lfloor\ln n\rfloor)$$
问数列 $a$ 的倒数和$A(n)$、数列 $b$ 的倒数和$B(n)$是发散的还是收敛的？如果收敛，极限各是多少？

王守恩

数列 $a$ 的倒数和 $A(n)$ 是发散的。
A(2)大于1/2×1
A(4)大于1/2×2
A(8)大于1/2×3
A(16)大于1/2×4
A(32)大于1/2×5
A(64)大于1/2×6
A(128)大于1/2×7
A(256)大于1/2×8
A(512)大于1/2×9

KeyTo9_Fans

$A(1)=1.000000$；
$A(2)=1.500000$；
$A(4)=2.033333$；
$A(8)=2.449639$；
$A(16)=2.759707$；
$A(32)=2.971190$；
$A(64)=3.117472$；
$A(128)=3.225080$；
$A(256)=3.308797$；
$A(512)=3.375070$；
$A(1024)=3.428192$；
$A(2048)=3.471941$；
$A(4096)=3.508923$；
$A(8192)=3.540875$；
$A(16384)=3.568971$；
$A(32768)=3.594032$；
$A(65536)=3.616643$；
$A(131072)=3.636914$；
$A(262144)=3.654934$；
$A(524288)=3.671014$；
$A(1048576)=3.685477$；
$A(2097152)=3.698595$；
$A(4194304)=3.710588$；
$A(8388608)=3.721630$；
$A(16777216)=3.731858$；
$A(33554432)=3.741384$；
$A(67108864)=3.750298$；
$A(134217728)=3.758673$；
$A(268435456)=3.766571$；
$A(536870912)=3.774043$；
$A(1073741824)=3.781133$；
$A(2147483648)=3.787878$；
$A(4294967296)=3.794310$；
……

lsr314

初步判断$n>8$时，$b(n)< nlog(n)loglog(n)logloglog(n)$,
$int1/( xlog(x)loglog(x)logloglog(x))dx=loglogloglog(x)+c$,

所以数列 $b$ 的倒数和 $B(n)$ 很可能是发散的。

少少

考研点进来 但是发现很难啊

王守恩

KeyTo9_Fans 发表于 2017-8-24 10:07
$A(1)=1.000000$；
$A(2)=1.500000$；
$A(4)=2. ...$

KeyTo9_Fans 先生。
根据你给出的数据，$A(n)$应该是收敛的
我找了好久，还是没能把这个数列找回来。
数列2，3，5，7，11，13，17，19，23，29的倒数和是发散的
数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，倒数和是是收敛的
数列4,8,9,16,25,27,32,36,49,64,81,100,121,125,128,144,169,
      倒数和是收敛的，但不知这个和是多少。
下面的数列，也是很漂亮的！
[1^0+2^0+3^0+4^0+5^0+......+n^0]÷[n^1÷1^2]=1
[1^1+2^1+3^1+4^1+5^1+......+n^1]÷[n^2÷2^2]=2
[1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+......+n^2]÷[n^3÷3^2]=3
[1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+......+n^3]÷[n^4÷4^2]=4
[1^4+2^4+3^4+4^4+5^4+......+n^4]÷[n^5÷5^2]=5
[1^5+2^5+3^5+4^5+5^5+......+n^5]÷[n^6÷6^2]=6
..............

kastin

利用达朗贝尔判别法可知，两个数列的倒数和似乎是收敛的。
比如第二个问题在`n\lt \infty`时 `b(n-1)/b(n)=1-b(\lfloor \ln n\rfloor)/b(n)<1`，故有限和`B(n)` 增长非常缓慢。

kastin

判敛法本质上关键是求出 `n\to \infty` 时候的阶用于比较。
将上面的式子进一步变形分解 \[1-b(n-1)/b(n)=b(\lfloor \ln n\rfloor)/b(n)=\frac Gn+o(\frac 1 {n^p})\tag{1}\]
若 `G>1,p\geqslant 1`，`B(n)`收敛；
若 `G < 1,p\geqslant 1` 或 `G=1,p>1`，`B(n)`发散。
若 `G=p=1` 这时需要进一步分解\[1-b(n-1)/b(n)=b(\lfloor \ln n\rfloor)/b(n)=\frac 1n+\frac G{n\ln n}+o(\frac 1{n\ln^p n})\tag{2}\]结论仍与上一个分解式保持一致。
如果不能判别，这个过程还可以进行下去，直到找到合适的阶。
实际上，达朗贝尔判别法是 `(1)` 的零阶形式。

hujunhua

咱给这俩数列命个名吧，姑且叫做“对数项增数列”，或者“KeyTo9_Fans数列”。

直觉4#的方法有前途，“对数项增数列”（对数底大于1）的倒数和应该都是发散的。

mathe

好像结果和对数的底有关，底小于e应该收敛，而底大于e应该发散。但是底等于e比较难判断