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[讨论] 一道趣题求解

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发表于 2017-8-24 19:06:42 | 显示全部楼层 |阅读模式

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1~n,共n个数,任意分成两个集合,都可以在其中一个集合中找到两个数,使得两个数的和为四次方数,求n最小值。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-8-28 22:22:16 | 显示全部楼层
n=9040

考虑三个数字960,5061,9040,任意两个之和均为四次方数。将其置于2个集合,根据抽屉原理,得证。

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$5061$不对,应该是$5601$。  发表于 2017-8-28 23:33

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 楼主| 发表于 2017-8-29 11:21:00 | 显示全部楼层
这个题目我又想了一下,有了一点思路。最小的n应该是1288,可以根据奇圈来考虑,又有个问题,这样的n会有多少个?

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如何证明$1288$是最小的?  发表于 2017-8-29 14:19
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 楼主| 发表于 2017-8-29 11:25:29 | 显示全部楼层
8+73=81,,73+183=256,183+1113=1296,1113+1288=2401,1288+8=1296
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 楼主| 发表于 2017-8-29 13:53:22 | 显示全部楼层
这样的n有无穷多个
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发表于 2017-8-29 15:26:15 | 显示全部楼层
用抽屉原理的思路,就是以下正整数方程组,n为奇数的情形。稍后暴力一下。

\(a_1+a_2=b_1^4\)
\(a_2+a_3=b_2^4\)
\(a_3+a_4=b_3^4\)

\(a_{i+1}+a_i=b_i^4\)

\(a_n+a_1=b_n^4\)
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 楼主| 发表于 2017-8-29 15:32:02 | 显示全部楼层


当1~-n中存在奇数个数排成一圈(奇圈),圈上相邻的两个数的和均为四次方数时,满足:任意分成两个集合,都可以在其中一个集合中找到两个数,使得两个数的和为四次方数

要使n为最小,也就是使四次方数尽量小。不妨考虑2^4=16 , 3^4=81 , 4^4=256 . 5^4=625 , 6^4=1296 , 7^4=2401 , 这六个四次方数,
由于前五个数中,后一个均为前一个2倍以上,因此不存在3个数的奇圈,下面考虑5个数的奇圈,由于五个数的奇圈产生的五个相邻的和必有两个相邻的和,大的那个数小于小的那个数的2倍,(否则不能满足:任意分成两个集合,都可以在其中一个集合中找到两个数,使得两个数的和为四次方数) 易知这两个和是1296,2401,其中1296出现两次。假设5个数为a1, a2. a3. a4, a5, 不妨a2+a3=2401,则a1+a2=1296, a3+a4=1296,假设a2大于a3.
所以a2大于等于1201,小于等于1295,推出 a1大于等于1,小于等于95,推出a4大于等于96,小于等于190,推出a4+a5=256,a5+a1=81,推出a1小于等于15,假设a1=15-x (x大于等于0),代入得95-2x=81,  x=7,a1=8,  a2=1288

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发表于 2017-8-31 22:11:06 | 显示全部楼层
1~n,共n个数,任意分成两个集合,都可以在其中一个集合中找到两个数,使得两个数的和为m次方数(m>1),求n最小值
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2017-9-1 19:42:07 | 显示全部楼层
1~n,共n个数,任意分成两个集合,都可以在其中一个集合中找到两个数,使得两个数的和为m次方数(m>1),求n最小值


三次方数,对应最小的n应该是124,含有21个数的奇圈。
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