完全平方数

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一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…

(一)完全平方数的性质

    性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

　　性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

　　性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

      推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

　　推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

      性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

      性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。

      性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

      性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。

      性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
     
      性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。

  　　性质10： a^2b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。

　　性质11：如果质数p能整除a，但p^2不能整除a，则a不是完全平方数。

　　性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若

n^2<k<(n+1)^2, 则k一定不是完全平方数。

      性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。

(二)重要结论

1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；　

2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；

3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；

4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；

5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；

6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；

7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；

8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。

gxqcn

初中的数学竞赛喜欢用到这些性质，
其实略微学点初等数论就非常好推导出来。

xiemiao

zhe ge jian dan