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[原创] 求一个条件最小值

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发表于 2017-11-1 20:03:53 | 显示全部楼层 |阅读模式

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`x,y,z`为正整数,且`x=3y+2z, yyy=xzz`, 求`x^xy^{3y}z^z`的最小值。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-11-1 20:58:19 | 显示全部楼层
$x=3y+2z$,$x$至少是$5$
$yyy=xzz$,$y$至少是$2$
$x=3y+2z$,$x$至少是$8$
$8=3*2+2*1$,
$2*2*2=8*1*1$,
最小值是$8^8*2^{3*2}*1^1=2^30=1073741824$
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 楼主| 发表于 2017-11-1 22:39:54 | 显示全部楼层
@KeyTo9_Fans 虽是小题,也不能就这样被你简单打杀了。改一下重来。

`a,x,y,z`为正整数,且`x=ay+2z, yyy=xzz`, 求`x^xy^{ay}z^z`的最小值。
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发表于 2017-11-2 19:19:59 | 显示全部楼层
可不可以更难一点,都是正数,条件不变,求(1+x)^x*(1+y)^(3y)*(1+z)^z最小值

点评

看看楼下的解法,知这并不更难  发表于 2017-11-2 21:10
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2017-11-2 21:07:38 | 显示全部楼层
`a,x,y,z`为正整数,且`x=ay+2z, yyy=xzz`, 求`x^xy^{ay}z^z`的最小值。

解:如果(a,kx,ky,kz)是条件方程的解,那么(a,x,y,z)也是。所以若 (a,x,y,z) 使得目标函数取得最小值,那么必有 Gcd(x,y,z)=1.

由 Gcd(x,y,z)=1及约束条件 x=ay+z可得Gcd(y.z)=1, 再由yyy=xzz可得 z=1. 代入约束方程得

x=ay+2, yyy=x,即

y^3=ay+2

故必有 y=2, a=3, 代回得 x=8

结果还跟原来一样。
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