一道数论题
方程 x(x+1)(5x-2)=6y^2 的正整数解是否只有以下三组？(1,1)
(6,14)
(49,315) 设f（x）=x(x+1)(5x-2),则这个是个三次函数。（大家可以想想下图形）
再设f（y）=6y^2,则这个是个二次函数
作图。
可以知道两者至多只要三个解。
所以这道题别说整数解了,连所有解也就是这三个 上面的意思是:在同一个坐标上做y=x(x+1)(5x-2),和y=6x^2两个图形。 上述观点显然错误！:q:
若不限定为正整数，对于任意的 $x>=2/5$，令 $y = sqrt{x(x+1)(5x-2)//6}$ 即可。 椭圆曲线. 我上面搞错了。
后来计算了很久，确实只有三组解。 一个想法:
我们考虑一个加强问题:
求(x,y)满足:
1)、x是完全平方数。
2)、(x+1)(5x-2)=6y^2
这样，我们可以先通过求解第2个条件，然后，再判断第一个条件是否满足。
求解(x+1)(5x-2)=6y^2，得到的结果如下：
X_{0}=Y_{0}=1
或者X_{0}=-1 Y_{0}=0
或者X_{0}=1 Y_{0}=-1
X_{n+1} = 11*X_{n} + 12*Y_{n} + 3
Y_{n+1} = 10*X_{n }+ 11*Y_{n} + 3
我们可以利用这个迭代式，求出所有满足(x+1)(5x-2)=6y^2的(X_{n},Y_{n})，然后，再判断X_{n}是否是完全平方数。若是，我们就找到了一个解。
注意到：（1，1）和（49，315）是在这个加强形式中的。
我们也可以考虑如下的加强形式：
1)、x=6*k^2。
2)、(x+1)(5x-2)=y^2
注意到：（6，14）是在这个加强形式中的。
或者，考虑下列加强形式：
1)、x=2*k^2。
2)、(x+1)(5x-2)=3*y^2
或
1)、x=3*k^2。
2)、(x+1)(5x-2)=2*y^2
或
1)、x=2*k^{2}-1。
2)、x(5x-2)=3*y^2
或
1)、x=3*k^{2}-1。
2)、x(5x-2)=2*y^2
或
1)、x=k^{2}-1。
2)、x(5x-2)=6*y^2
或
1)、x=6*k^{2}-1。
2)、x(5x-2)=y^2 现在可以确定的是这个方程只有有限个正整数解,但是,不确定是否只有这三个. 我也估计只有有限个解，但是你是如何确定的呢？ 相似问题：
方程x(x+1)(x+8)=3y^2的正整数解是否只有以下两组？
(6,14)
(24,80)
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