一道数论题

northwolves

方程 $x(x+1)(5x-2)=6y^2$ 的正整数解是否只有以下三组？ (1,1) (6,14) (49,315)

xiugakei

设f（x）=x(x+1)(5x-2),则这个是个三次函数。（大家可以想想下图形） 再设f（y）=6y^2,则这个是个二次函数 作图。 可以知道两者至多只要三个解。 所以这道题别说整数解了,连所有解也就是这三个

xiugakei

上面的意思是:在同一个坐标上做y=x(x+1)(5x-2),和y=6x^2两个图形。

gxqcn

上述观点显然错误！ 若不限定为正整数，对于任意的 $x>=2/5$，令 $y = sqrt{x(x+1)(5x-2)//6}$ 即可。

medie2005

椭圆曲线.

xiugakei

我上面搞错了。 后来计算了很久，确实只有三组解。

medie2005

一个想法: 我们考虑一个加强问题: 求(x,y)满足: 1)、x是完全平方数。 2)、$(x+1)(5x-2)=6y^2$ 这样，我们可以先通过求解第2个条件，然后，再判断第一个条件是否满足。 求解$(x+1)(5x-2)=6y^2$，得到的结果如下： $X_{0}=Y_{0}=1$ 或者$X_{0}=-1 Y_{0}=0$ 或者$X_{0}=1 Y_{0}=-1$ $X_{n+1} = 11*X_{n} + 12*Y_{n} + 3$ $Y_{n+1} = 10*X_{n }+ 11*Y_{n} + 3$ 我们可以利用这个迭代式，求出所有满足$(x+1)(5x-2)=6y^2$的$(X_{n},Y_{n})$，然后，再判断$X_{n}$是否是完全平方数。若是，我们就找到了一个解。 注意到：（1，1）和（49，315）是在这个加强形式中的。 我们也可以考虑如下的加强形式： 1)、$x=6*k^2$。 2)、$(x+1)(5x-2)=y^2$ 注意到：（6，14）是在这个加强形式中的。 或者，考虑下列加强形式： 1)、$x=2*k^2$。 2)、$(x+1)(5x-2)=3*y^2$ 或 1)、$x=3*k^2$。 2)、$(x+1)(5x-2)=2*y^2$ 或 1)、$x=2*k^{2}-1$。 2)、$x(5x-2)=3*y^2$ 或 1)、$x=3*k^{2}-1$。 2)、$x(5x-2)=2*y^2$ 或 1)、$x=k^{2}-1$。 2)、$x(5x-2)=6*y^2$ 或 1)、$x=6*k^{2}-1$。 2)、$x(5x-2)=y^2$

medie2005

现在可以确定的是这个方程只有有限个正整数解,但是,不确定是否只有这三个.

mathe

我也估计只有有限个解，但是你是如何确定的呢？

northwolves

相似问题： 方程$x(x+1)(x+8)=3y^2$ 的正整数解是否只有以下两组？ (6,14) (24,80)