northwolves 发表于 2008-12-28 18:49:21

Diophantine Equation 2

列举 方程 (1+1/x1)(1+1/x2)...(1+1/xn) = 2 的全部正整数解
n=1: {1}
n=2:{1,2}
n=3:{2,4,15} ,{2,5,9} ,{2,6,7} ,{3,3,8} ,{3,4,5}
n=4: ?
n=...
n=k:?

无心人 发表于 2008-12-28 20:46:46

$(x_1+1)(x_2+1)...(x_n+1) = 2x_1x_2...x_n$

无心人 发表于 2008-12-28 20:52:16

n = 2
$x_1 + x_2 + x_1x_2 + 1 = 2x_1x_2$
$x_1 + x_2 + 1 = x_1x_2$
显然(1, 2)不是n = 2的解
（2， 3）是

northwolves 发表于 2008-12-28 20:55:20

原帖由 无心人 于 2008-12-28 20:52 发表 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
n = 2
$x_1 + x_2 + x_1x_2 + 1 = 2x_1x_2$
$x_1 + x_2 + 1 = x_1x_2$
显然(1, 2)不是n = 2的解
（2， 3）是
呵呵，笔误了:loveliness: 。多谢....:handshake

无心人 发表于 2008-12-28 20:57:36

感觉和完全数能扯上关系
=================
似乎不是这么简单

mathe 发表于 2008-12-29 09:04:51

求一组解很容易。求所有解估计只能穷举了

xiugakei 发表于 2008-12-29 10:44:38

n=2:{2,3}
n=3:{3,4,5}
n=4:{4,5,6,7}
n=5:{5,6,7,8,9}
.......
这个有规律的,必为其中一组。

medie2005 发表于 2008-12-29 11:20:10

呵呵,楼上给的结论很好.
我们可以用这个特解,生成一系列解.
比如,n=4:
固定(4,5),那么可以由(4,5,6,7)生成(4,4,5,15),(4,5,5,9).

无心人 发表于 2008-12-29 11:23:16

最大最小数字有公式求出来么？

medie2005 发表于 2008-12-29 13:31:08

P(x+1)(y+1)=2Qxy   
=> (2Q-P)xy-Px-Py-P=0
=>(2Q-P)^2xy-P (2Q-P)x-P (2Q-P)y= (2Q-P)p
=>   (2Q-P)^2xy-P (2Q-P)x-P (2Q-P)y+P^2= (2Q-P)p+P^2
=> ((2Q-P)x-P)*((2Q-P)y-P)= (2Q-P)p+P^2。
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