mathe 发表于 2009-1-22 07:24:49

而看选择公理的介绍，可以看到：
In 1940, Gödel proved that the axiom of choice is consistent with the axioms of von Neumann-Bernays-Gödel set theory (a conservative extension of Zermelo-Fraenkel set theory). However, in 1963, Cohen (1963) unexpectedly demonstrated that the axiom of choice is also independent of Zermelo-Fraenkel set theory (Mendelson 1997; Boyer and Merzbacher 1991, pp. 610-611).

mathe 发表于 2009-1-22 08:52:46

而使用Zorn引理证明实数集作为有理数集上的线性空间存在一组基H.
记$fr R$为所有R中哪些满足任意有限个元素的有理线性组合都不是0的集合构成的集簇。
那么我们在$fr R$中任意两个集合之间的包含关系构成一个偏序关系。
而对于$fr R$中任意一个链$U_1 sub U_2 sub U_3 sub ... sub U_k sub ...$
容易验证$U=uuu_{k=1}^{infty}U_k$也在$fr R$中。所以根据Zorn引理，$fr R$存在上界，也就是存在集合$H in fr R$,使得对于任何其它集合$x in fr R$有$x sube H$.然后容易检验H就是所要的基。

shshsh_0510 发表于 2009-1-22 09:34:24

呵呵，这个已经明白了，谢谢
我当初主要对H的基数有些困惑，现在清楚了，其有理基当然也是连续统基数

wayne 发表于 2009-2-13 00:32:47

如果所求的f(x)属于初等函数的范畴，那么我们可以认为它连续可导(当然似乎可以根据x,y的取值任意性进行证明)，
于是，在原式的基础上关于x和y分别进行求导，并解得
f'(x+y)=f'(x)+2y
f'(x-y)=f'(x)-2y
另上面的x=0，则得微分方程f'(x)=f'(0)-2x
进而我们可以得到$f(x) =x^2+f'(0)*x+C$ $C in RR$

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我晕了，新手限制真多，刚注册0.5小时内不能发帖子，每个小时发贴不能超过5条~~~
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