论坛 › 难题征解 › 解一个椭圆曲线方程

northwolves 发表于 2009-1-17 11:07:40

解一个椭圆曲线方程

Determine all pairs integer $(x,y)$   satisfying the equation ：\[
y(x+y)=x^3-7x^2+11x-3
\]

mathematica 发表于 2009-1-17 13:15:33

{x,y}
{1,-2}
{1,1}
{2,-1}
{6,-9}
{6,3}

northwolves 发表于 2009-1-17 13:58:14

原帖由 mathematica 于 2009-1-17 13:15 发表 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
{x,y}
{1,-2}
{1,1}
{2,-1}
{6,-9}
{6,3}
能否列出解题过程？谢谢

mathe 发表于 2009-1-17 14:50:28

$(2y+x)^2=4x^3-27x^2+44x-12=(x-2)(4x^2-19x+6)$
其中$(x-2,4x^2-19x+6)|16$
由此可以知道必然有$x-2=t^2$或$x-2=2t^2$,然后继续讨论吧

nyy 发表于 2023-5-6 11:42:41

northwolves 发表于 2009-1-17 13:58
能否列出解题过程？谢谢

我很笨的，只会穷举法搞！这个好像是椭圆曲线。只有有限个整点

hujunhua 发表于 2023-5-8 19:44:19

mathe 发表于 2009-1-17 14:50
$(2y+x)^2=4x^3-27x^2+44x-12=(x-2)(4x^2-19x+6)$
其中$(x-2,4x^2-19x+6)|16$
由此可知必有$x-2=t^ ...
令`Y=2y+x,X=x-2`, 方程化为\[
Y^2=X(4X^2-3X-16)\tag1
\]由于`\gcd(X,4X^2-3X-16)|16`, 故\[\begin{split}
X&=s^2, &4X^2-3X-16&=t^2\\
\text{or} X&=2s^2, &4X^2-3X-16&=2t^2
\end{split}\tag{2}\]
丢番图方程\[
4X^2-3X-16=t^2\tag3
\]可配方化为\[
(8X-3)^2-(4t)^2=265\\
\]易解得`X=4,t=±6`或者`X=17,t=±33`, 取`X`为平方数只有`X=4`, 对应`(x,y)=(6,3),(6,-9)`。
丢番图方程\[
4X^2-3X-16=2t^2\tag4
\]可配方化为\[
(8X-3)^2-2(4t)^2=265\\
\]这个扩展佩尔方程无解。（扩展佩尔方程`x^2-2y^2=z`有解的充要条件是`z`不含有`±3\pmod8`的素因子）

hujunhua 发表于 2023-5-8 22:43:24

漏解是由于符号原因，还有以下两种情况：
\[\begin{split}
X&=-s^2, &4X^2-3X-16&=-t^2\\
\text{or} X&=-2s^2, &4X^2-3X-16&=-2t^2
\end{split}\tag{2'}
\]对应于\[
(8X-3)^2+(4t)^2=265\\
(8X-3)^2+2(4t)^2=265
\]

nyy 发表于 2023-5-9 09:15:49

E:=EllipticCurve();
IntegralPoints(E);

算出结果，但是结果不稳定，有两种

第一种结果
[ (1 : 1 : 1), (2 : -1 : 1), (6 : 3 : 1) ]
[ <(1 : 1 : 1), 1>, <(2 : -1 : 1), 1>, <(6 : 3 : 1), 1> ]

第二种结果
[ (1 : -2 : 1), (2 : -1 : 1), (6 : -9 : 1) ]
[ <(1 : -2 : 1), 1>, <(2 : -1 : 1), 1>, <(6 : -9 : 1), 1> ]

在线计算器
http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/

nyy 发表于 2023-5-9 11:57:21

nyy 发表于 2023-5-9 09:15
算出结果，但是结果不稳定，有两种

第一种结果


F:=EllipticCurve();
F;
MW, f := MordellWeilGroup(F);
MW;
a := f(MW.1);
b := f(MW.2);
a;
b;

输出结果，谁能看懂这个结果？是这个群是由两个生成元生成的吗？
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y = x^3 - 7*x^2 + 11*x - 3 over Rational Field
Abelian Group isomorphic to Z/2 + Z
Defined on 2 generators
Relations:
    2*MW.1 = 0
(2 : -1 : 1)
(1 : 1 : 1)

nyy 发表于 2023-5-10 09:50:54

nyy 发表于 2023-5-9 11:57
输出结果，谁能看懂这个结果？是这个群是由两个生成元生成的吗？

SetClassGroupBounds("GRH");
E:=EllipticCurve();
IntegralPoints(E);
MW, f := MordellWeilGroup(E);
MW;
a := f(MW.1);
b := f(MW.2);
a;
b;

输出结果：
[ (10950 : 1145833 : 1) ]
[ <(10950 : 1145833 : 1), 1> ]
Abelian Group isomorphic to Z + Z
Defined on 2 generators (free)
(10950 : 1145833 : 1)
(283368/961 : 153436021/29791 : 1)

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