解一个椭圆曲线方程

northwolves

Determine all pairs integer $(x,y)$   satisfying the equation ：\[
y(x+y)=x^3-7x^2+11x-3
\]

mathematica

{x,y}
{1,-2}
{1,1}
{2,-1}
{6,-9}
{6,3}

northwolves

原帖由 mathematica 于 2009-1-17 13:15 发表
{x,y}
{1,-2}
{1,1}
{2,-1}
{6,-9}
{6,3}

能否列出解题过程？谢谢

mathe

$(2y+x)^2=4x^3-27x^2+44x-12=(x-2)(4x^2-19x+6)$
其中$(x-2,4x^2-19x+6)|16$
由此可以知道必然有$x-2=t^2$或$x-2=2t^2$,然后继续讨论吧

nyy

northwolves 发表于 2009-1-17 13:58
能否列出解题过程？谢谢

我很笨的，只会穷举法搞！这个好像是椭圆曲线。只有有限个整点

hujunhua

mathe 发表于 2009-1-17 14:50
$(2y+x)^2=4x^3-27x^2+44x-12=(x-2)(4x^2-19x+6)$
其中$(x-2,4x^2-19x+6)|16$
由此可知必有$x-2=t^ ...

令`Y=2y+x,X=x-2`, 方程化为\[
Y^2=X(4X^2-3X-16)\tag1
\]由于`\gcd(X,4X^2-3X-16)|16`, 故\[\begin{split}
X&=s^2, &4X^2-3X-16&=t^2\\
\text{or  } X&=2s^2, &4X^2-3X-16&=2t^2
\end{split}\tag{2}\]
丢番图方程\[
4X^2-3X-16=t^2\tag3
\]可配方化为\[
(8X-3)^2-(4t)^2=265\\
\]易解得`X=4,t=±6`或者`X=17,t=±33`, 取`X`为平方数只有`X=4`, 对应`(x,y)=(6,3),(6,-9)`。
丢番图方程\[
4X^2-3X-16=2t^2\tag4
\]可配方化为\[
(8X-3)^2-2(4t)^2=265\\
\]这个扩展佩尔方程无解。（扩展佩尔方程`x^2-2y^2=z`有解的充要条件是`z`不含有`±3\pmod8`的素因子）

hujunhua

漏解是由于符号原因，还有以下两种情况：
\[\begin{split}
X&=-s^2, &4X^2-3X-16&=-t^2\\
\text{or  } X&=-2s^2, &4X^2-3X-16&=-2t^2
\end{split}\tag{2'}
\]对应于\[
(8X-3)^2+(4t)^2=265\\
(8X-3)^2+2(4t)^2=265
\]

nyy

1. E:=EllipticCurve([1,-7,0,11,-3]);
   
2. IntegralPoints(E);

复制代码

算出结果，但是结果不稳定，有两种

第一种结果

1. [ (1 : 1 : 1), (2 : -1 : 1), (6 : 3 : 1) ]
   
2. [ <(1 : 1 : 1), 1>, <(2 : -1 : 1), 1>, <(6 : 3 : 1), 1> ]

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第二种结果

1. [ (1 : -2 : 1), (2 : -1 : 1), (6 : -9 : 1) ]
   
2. [ <(1 : -2 : 1), 1>, <(2 : -1 : 1), 1>, <(6 : -9 : 1), 1> ]

复制代码

在线计算器
http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/

nyy

nyy 发表于 2023-5-9 09:15
算出结果，但是结果不稳定，有两种

第一种结果

1. F:=EllipticCurve([1,-7,0,11,-3]);
   
2. F;
   
3. MW, f := MordellWeilGroup(F);
   
4. MW;
   
5. a := f(MW.1);
   
6. b := f(MW.2);
   
7. a;
   
8. b;

复制代码

输出结果，谁能看懂这个结果？是这个群是由两个生成元生成的吗？

1. Elliptic Curve defined by y^2 + x*y = x^3 - 7*x^2 + 11*x - 3 over Rational Field
   
2. Abelian Group isomorphic to Z/2 + Z
   
3. Defined on 2 generators
   
4. Relations:
   
5.     2*MW.1 = 0
   
6. (2 : -1 : 1)
   
7. (1 : 1 : 1)

复制代码

nyy

nyy 发表于 2023-5-9 11:57
输出结果，谁能看懂这个结果？是这个群是由两个生成元生成的吗？

1. SetClassGroupBounds("GRH");
   
2. E:=EllipticCurve([0,888889]);
   
3. IntegralPoints(E);
   
4. MW, f := MordellWeilGroup(E);
   
5. MW;
   
6. a := f(MW.1);
   
7. b := f(MW.2);
   
8. a;
   
9. b;

复制代码

输出结果：

1. [ (10950 : 1145833 : 1) ]
   
2. [ <(10950 : 1145833 : 1), 1> ]
   
3. Abelian Group isomorphic to Z + Z
   
4. Defined on 2 generators (free)
   
5. (10950 : 1145833 : 1)
   
6. (283368/961 : 153436021/29791 : 1)

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