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[讨论] 求 1^2+2^2+3^2+...+n^2 = m^2 的正整数解

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发表于 2009-2-14 16:09:11 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如题,求$1^2+2^2+3^2+...+n^2 = m^2$的正整数解(n,m)

这个题我很早以前见过,非平凡解貌似只找到 (24,70),这也太绝了,不知大牛们有何看法,我们能解释这种原因吗。so,any idea?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2009-2-14 16:35:08 | 显示全部楼层
n*(n+1)*(2n+1)=6m^2.
此方程只有有限个正整数解。
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 楼主| 发表于 2009-2-14 16:51:48 | 显示全部楼层

回复 2# medie2005 的帖子

能得到n ,n+1,2n+1两两互质这一特点。
$n*(n+1)*(2n+1)=6m^2=6p^2q^2r^2$,p,q,r互质。
则由2n+1=r^2得n必为偶数。
于是
$n=6p^2$
$n+1=q^2$
$2n+1=r^2$
再由第二个式子得知,n是4的倍数。进而得知p是偶数,所以n必是24的倍数。。。
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发表于 2009-2-14 18:01:48 | 显示全部楼层
2n+1=3r^2不行么?
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 楼主| 发表于 2009-2-14 20:10:00 | 显示全部楼层

回复 4# medie2005 的帖子

我把这种情况漏掉了
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 楼主| 发表于 2009-2-14 20:21:15 | 显示全部楼层

回复 4# medie2005 的帖子

这种情况也比较好确定形式
2n+1=3r^2
n=p^2
n+1=2q^2
只是我不知道这两种形式下为什么就能确定“只有有限个正整数解”
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发表于 2009-2-14 20:46:15 | 显示全部楼层
选择热门标签中"椭圆曲线"可以看到类似的话题
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发表于 2009-2-15 09:19:39 | 显示全部楼层
对于n<2300,只有n=1和n=24这两个
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发表于 2009-2-15 09:45:09 | 显示全部楼层
呵呵,找到一个文章提到这个问题了:
/viewthrea ... e%3D1&frombbs=1
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 楼主| 发表于 2009-2-16 13:13:10 | 显示全部楼层

回复 9# mathe 的帖子

谢谢mathe,圆锥曲线有时间我一定好好的看看。
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