求 1^2+2^2+3^2+...+n^2 = m^2 的正整数解

wayne

如题，求$1^2+2^2+3^2+...+n^2 = m^2$的正整数解(n,m)

这个题我很早以前见过，非平凡解貌似只找到 (24,70)，这也太绝了，不知大牛们有何看法，我们能解释这种原因吗。so，any idea?

medie2005

n*(n+1)*(2n+1)=6m^2.
此方程只有有限个正整数解。

wayne

能得到n ,n+1,2n+1两两互质这一特点。
$n*(n+1)*(2n+1)=6m^2=6p^2q^2r^2$,p,q,r互质。
则由2n+1=r^2得n必为偶数。
于是
$n=6p^2$
$n+1=q^2$
$2n+1=r^2$
再由第二个式子得知，n是4的倍数。进而得知p是偶数，所以n必是24的倍数。。。

medie2005

2n+1=3r^2不行么？

wayne

我把这种情况漏掉了

wayne

这种情况也比较好确定形式
2n+1=3r^2
n=p^2
n+1=2q^2
只是我不知道这两种形式下为什么就能确定“只有有限个正整数解”

mathe

选择热门标签中"椭圆曲线"可以看到类似的话题

282842712474

对于n<2300，只有n=1和n=24这两个

mathe

呵呵,找到一个文章提到这个问题了:
http://bbs.emath.ac.cn/viewthrea ... e%3D1&frombbs=1

wayne

谢谢mathe，圆锥曲线有时间我一定好好的看看。