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发表于 2022-3-30 10:13:50
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本帖最后由 xiaoshuchong 于 2022-3-30 10:16 编辑
补充几点。
1. 很多人反复提到了椭圆曲线,这个问题对应的曲线是$E:y^2=x^3-36x$
令$n,m=\frac{x}{12}-\frac{1}{2},\frac{y}{72}$, 则原等式成立
曲线E一共有13个整点,分别为[-6, 0], [-3, 9], [-3, -9], [-2, 8], [-2, -8],
[0, 0], [6, 0], [12, 36], [12, -36], [18, 72], [18, -72], [294, 5040], [294, -5040]。
其中,[294, 5040]即对应n,m=24,70。
2. $1^2+\cdots+24^2=70^2$与Leech Lattice紧密关联。
高维球密堆积是一个很有意思、不容易又不太热门的领域。我们知道二维球密
堆积是正六边形网格,三维是在二维的基础之上进行错排,形成面心立方、体
心立方等密堆积结构。而Leech Lattice是24维球的密堆积结构,由Leech在1967
年得到,随后Conway从这个结构导出了一个散在单群$Co1$(Sporadic simple group) 。
再之后,1988年,Conway和 N.J.A Sloane出版了一本书,"sphere packings: lattices and groups",
详细介绍了球密堆积与群(尤其是散在单群)以及模形式之间的联系。大家对于Sloane老爷子也
许没什么印象,但想必对数列网站OEIS(https://oeis.org)很熟悉,Sloane老爷子是该
网站的创始人。
好像有点扯远了,但是这个恒等式实在是很有意思。再扯远一点,sporadic group和
modular form之间的联系被称为魔群月光猜想,可以跟超弦理论联系在一起。这一块内容很难,
论坛里好像没人讨论这个问题。
链接:
关于Leech Lattice 简介
https://pi.math.cornell.edu/~bazse/leechlattice.pdf
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Leech_lattice
散在单群
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Sporadic_simple_group |
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