求倍三角数对
求这样的三角数对，其中一个三角数是另一个三角数的2倍。即解丢番图方程\ 可以转化为Pell方程$8x(x+1)+2=4y(y+1)+2$
也就是
$2(2x+1)^2=(2y+1)^2+1$ X=0
Y=0
或者
X=-1
Y=0
X = 3*X + 2*Y + 2
Y = 4*X + 3*Y + 3
回复 1# sunwukong 的帖子
呵呵，无意间浏览到的，发现这个题跟我的主题其实是一道题，这道题答案是$1/4*(sqrt(2)+1)^(2n+1)$(n为正整数)的整数部分。
楼主可以移步到主题
“寻找完全平方数 k^2+(k+1)^2”
{3, 20, 119, 696, 4059, 23660, 137903, 803760, 4684659, 27304196, 159140519, 927538920, 5406093003, 31509019100, 183648021599, 1070379110496, 6238626641379, 36361380737780, 211929657785303, 1235216565974040} mathe 发表于 2009-1-19 08:31
可以转化为Pell方程
$8x(x+1)+2=4y(y+1)+2$
也就是
x = 0
y = 0
and also:
x = -1
y = -1
Recursive solutions:
xn+1 = 3 xn + 2 yn + 2
yn+1 = 4 xn + 3 yn + 3
and also:
xn+1 = 3 xn - 2 yn
yn+1 = - 4 xn + 3 yn -1 本帖最后由 王守恩 于 2023-5-6 16:53 编辑
mathe 发表于 2009-1-19 08:31
可以转化为Pell方程
$8x(x+1)+2=4y(y+1)+2$
也就是
求 2x(x+1)=y(y+1) 的所有正整数解 LinearRecurrence[{7, -7, 1}, {0, 0, 2}, 20]
x={2, 14, 84, 492, 2870, 16730, 97512, 568344, 3312554, 19306982, 112529340, 655869060, 3822685022, 22280241074, 129858761424, 756872327472, 4411375203410, 25711378892990}
求 2x(x+1)=y(y+1) 的所有正整数解 RecurrenceTable[{a == 2 + 6 a - a, a == a == 0}, a, {n, 2, 19}]
x={2, 14, 84, 492, 2870, 16730, 97512, 568344, 3312554, 19306982, 112529340, 655869060, 3822685022, 22280241074, 129858761424, 756872327472, 4411375203410, 25711378892990} 王守恩 发表于 2023-5-6 16:23
求 2x(x+1)=y(y+1) 的所有正整数解 LinearRecurrence[{7, -7, 1}, {0, 0, 2}, 20]
x={2, 14, 84 ...
你的这个回答与问题有关吗？？？递推公式不一样 这是一个二次且非线性的方程，可以通过一些代数方法求解。我们可以将该方程看成一个关于 y 的二次方程：
y^2 + y - 2x(x+1) = 0
根据二次方程的通解公式，有：
y = [-1 ± sqrt(1 + 8x(x+1))] / 2
由于 y 是正整数，因此必须满足 sqrt(1 + 8x(x+1)) 是奇数。
令 k = sqrt(1 + 8x(x+1))，则 k 必须是奇数，也就是说 k 可以表示成 m + n，其中 m 和 n 均为正整数且 m > n。
将 k 带入原方程可得：
2x(x+1) = (m+n)(m-n)
注意到 m+n 和 m-n 都是偶数，因此可以分别设其为 2a 和 2b。
则有：
x(x+1) = ab
如果知道了 a 和 b 的值，就可以通过这个等式构造出 x 的值。而对于任意的 a 和 b，都可以通过这个等式构造出一个满足条件的正整数解。
总结一下，求解步骤如下：
1. 枚举所有的 a 和 b （a≥b）。
2. 计算 ab，如果不是正整数，则跳过。
3. 求解 x(x+1) = ab，如果不是正整数，则跳过。
4. 如果 x(x+1) = ab 是正整数，则通过计算得到 y 的值，即：
y = (m+n)/2 或 (m-n)/2
其中，m 和 n 分别为 k 的两个正因子，满足 m+n=k，且 m > n。
5. 检验求解出的 x 和 y 是否满足原方程。
6. 如果满足，则 (x, y) 为一个解。 nyy 发表于 2023-5-6 18:58
你的这个回答与问题有关吗？？？递推公式不一样
求 2x(x+1)=y(y+1) 的所有正整数解
1,x={2, 14,84, 492, 2870, 16730,97512, 568344, 3312554, 19306982, 112529340, 655869060, 3822685022, 22280241074, 129858761424,756872327472, 4411375203410, 25711378892990,}
x(n)=LinearRecurrence[{7, -7, 1}, {0, 0, 2}, n]=(Fibonacci - 1)/2
2,y={3, 20, 119, 696, 4059, 23660, 137903, 803760, 4684659, 27304196, 159140519, 927538920, 5406093003, 31509019100, 183648021599, 1070379110496, 6238626641379, 36361380737780,}
y(n)=LinearRecurrence[{7, -7, 1}, {-1, 0, 3}, n]=(LucasL - 2)/4
\(3, y/x=\sqrt{2}\) 王守恩 发表于 2023-5-7 16:13
求 2x(x+1)=y(y+1) 的所有正整数解
1,x={2, 14,84, 492, 2870, 16730,97512, 568344, 3312 ...
看不懂