一类级数的和
下述级数如何求和：\sum_{k_1=1}^\infty\sum_{k_2=k_1+1}^\infty\cdots\sum_{k_n=k_{n-1}+1}^\infty \frac{1}{k_1!k_2!\cdots\k_n!}
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[ 本帖最后由 mathabc 于 2009-4-17 20:16 编辑 ] 怎么显示不是latex格式？
mathtype格式
mathtype格式的公式哈：当n=2时，结果为：
$\frac{1}{2} (\text{BesselI}(0,2)-2 \text{Cosh}(1)+\text{Cosh}(2))$ $\sum _{b=a+1}^{+\infty } \frac{1}{a!b!}$=$\frac{e (\text{Gamma}-\text{Gamma})}{\text{Gamma}^2}$ 原帖由 wayne 于 2009-4-18 12:32 发表 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
$\sum _{b=a+1}^{+\infty } \frac{1}{a!b!}$=$\frac{e (\text{Gamma}-\text{Gamma})}{\text{Gamma}^2}$
是不是少了一个对a的求和？
回复 6# mathabc 的帖子
不少啊，这里的Gamma函数是阶乘的推广形式，详细地可以参见：http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html 原帖由 wayne 于 2009-4-20 15:59 发表 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
不少啊，这里的Gamma函数是阶乘的推广形式，详细地可以参见：
http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html
thx wayne, 受教了，但还是不知所给级数从何下手。 我也不知道阿，:(
我只是先尽量找出关系来，看能不能带来什么启示 本帖最后由 Buffalo 于 2009-6-22 10:55 编辑
下述级数如何求和：
\sum_{k_1=1}^\infty\sum_{k_2=k_1+1}^\infty\cdots\sum_{k_n=k_{n-1}+1}^\infty \frac{1}{k_1!k_2!\cdots\k_n!}
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[ 本帖最后由 mathabc 于 2009-4-17 20:16 编辑 ]
mathabc 发表于 2009-4-17 20:09 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
对给定收敛得足够快的正数列a_i，记对称和S_n=\sum_{i=0}^{\infty}a_i^n，三角和T_n=\sum_{k_1=0}^{\infty}\cdots\sum_{k_n=k_{n-1}+1}^{\infty}\prod_{i=1}^{n}a_{k_i}，想法是把T_n用S_n表示出来，原则上可以取不同的S_i作乘法，展开以后可以得到各种求和式，其中包括T_n，然后求解关于这些和式的线性方程组，就可以得到T_n=\sum C(n,k_1,\cdots,k_j,e_1,\cdots,e_j)\prod_{i=1}^j S_{k_i}^{e_i}，这里\sum_{i=1}^{j}k_i*e_i=n。例如，S_1^2=2T_2+S_2，因此T_2=\frac{1}{2}(S_1^2-S_2)。当然对于比较大的n这种计算会非常麻烦。
如果注意到系数C(n,k_1,\cdots,k_j,e_1,\cdots,e_j)是不依赖于数列a_i的绝对常数，就可以选择合适的数列a_i来计算这些系数。最简单的，可以选数列a_i=x^i，易知S_n=\frac{1}{1-x^n}，T_n=\frac{x^{{n(n-1)}/2}}{\prod_{i=1}^n (1-x^i)}，代入等式T_n=\sum C(n,k_1,\cdots,k_j,e_1,\cdots,e_j)\prod_{i=1}^j S_{k_i}^{e_i}比较两边的系数就可以得到绝对常数系数C(n,k_1,\cdots,k_j,e_1,\cdots,e_j)。
实际上可以直接写出解析式C(n,k_1,\cdots,k_j,e_1,\cdots,e_j)=\frac{(-1)^{n+s}}{\prod_{i=1}^j k_i^{e_i}e_i!}，这里s=\sum_{i=1}^j e_i
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