一类级数的和

mathabc

下述级数如何求和：

$\sum_{k_1=1}^\infty\sum_{k_2=k_1+1}^\infty\cdots\sum_{k_n=k_{n-1}+1}^\infty \frac{1}{k_1!k_2!\cdots\k_n!}$

欢迎积极发言！

[ 本帖最后由 mathabc 于 2009-4-17 20:16 编辑 ]

mathabc

怎么显示不是latex格式？

mathabc

mathtype格式的公式哈：

wayne

当n=2时，结果为：
$\frac{1}{2} (\text{BesselI}(0,2)-2 \text{Cosh}(1)+\text{Cosh}(2))$

wayne

$\sum _{b=a+1}^{+\infty } \frac{1}{a!b!}$=$\frac{e (\text{Gamma}[1+a]-\text{Gamma}[1+a,1])}{\text{Gamma}[1+a]^2}$

mathabc

原帖由 wayne 于 2009-4-18 12:32 发表
$\sum _{b=a+1}^{+\infty } \frac{1}{a!b!}$=$\frac{e (\text{Gamma}[1+a]-\text{Gamma}[1+a,1])}{\text{Gamma}[1+a]^2}$

是不是少了一个对a的求和？

wayne

不少啊，这里的Gamma函数是阶乘的推广形式，详细地可以参见：
http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html

mathabc

原帖由 wayne 于 2009-4-20 15:59 发表
不少啊，这里的Gamma函数是阶乘的推广形式，详细地可以参见：
http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html

thx wayne, 受教了，但还是不知所给级数从何下手。

wayne

我也不知道阿，
我只是先尽量找出关系来，看能不能带来什么启示

Buffalo

下述级数如何求和：

\sum_{k_1=1}^\infty\sum_{k_2=k_1+1}^\infty\cdots\sum_{k_n=k_{n-1}+1}^\infty \frac{1}{k_1!k_2!\cdots\k_n!}

欢迎积极发言！

[ 本帖最后由 mathabc 于 2009-4-17 20:16 编辑 ]
mathabc 发表于 2009-4-17 20:09

对给定收敛得足够快的正数列$a_i$，记对称和$S_n=\sum_{i=0}^{\infty}a_i^n$，三角和$T_n=\sum_{k_1=0}^{\infty}\cdots\sum_{k_n=k_{n-1}+1}^{\infty}\prod_{i=1}^{n}a_{k_i}$，想法是把$T_n$用$S_n$表示出来，原则上可以取不同的$S_i$作乘法，展开以后可以得到各种求和式，其中包括$T_n$，然后求解关于这些和式的线性方程组，就可以得到$T_n=\sum C(n,k_1,\cdots,k_j,e_1,\cdots,e_j)\prod_{i=1}^j S_{k_i}^{e_i}$，这里$\sum_{i=1}^{j}k_i*e_i=n$。例如，$S_1^2=2T_2+S_2$，因此$T_2=\frac{1}{2}(S_1^2-S_2)$。当然对于比较大的$n$这种计算会非常麻烦。
如果注意到系数$C(n,k_1,\cdots,k_j,e_1,\cdots,e_j)$是不依赖于数列$a_i$的绝对常数，就可以选择合适的数列$a_i$来计算这些系数。最简单的，可以选数列$a_i=x^i$，易知$S_n=\frac{1}{1-x^n}$，$T_n=\frac{x^{{n(n-1)}/2}}{\prod_{i=1}^n (1-x^i)}$，代入等式$T_n=\sum C(n,k_1,\cdots,k_j,e_1,\cdots,e_j)\prod_{i=1}^j S_{k_i}^{e_i}$比较两边的系数就可以得到绝对常数系数$C(n,k_1,\cdots,k_j,e_1,\cdots,e_j)$。
实际上可以直接写出解析式$C(n,k_1,\cdots,k_j,e_1,\cdots,e_j)=\frac{(-1)^{n+s}}{\prod_{i=1}^j k_i^{e_i}e_i!}$，这里$s=\sum_{i=1}^j e_i$