n与2n的素数
$2 \pi(n) >= \pi(2n)$是否一定正确呢？可以证明吗？ 原帖由 282842712474 于 2009-5-8 20:51 发表 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
$2 \pi(n) >= \pi(2n)$
是否一定正确呢？可以证明吗？
有一个反例
`2\pi(1) < \pi(2)` http://hiphotos.baidu.com/ncutlw/pic/item/ce67929418488d3dd31b7062.jpeg
上面的图片中 第一列表示`i`，第二列表示`2\pi(i) - \pi(2i)`
由于素数分布会越来越疏，所以除掉1这个点，结论应该是正确的。 不要说应该呀
最好能够给出完善证明，当n>2时都成立 如果黎曼猜想(http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%8E%E6%9B%BC%E7%8C%9C%E6%83%B3)成立
我们有结论
$|pi(x)-Li(x)|<1/{8pi}sqrt(x)ln(x)$ 对于所有的$x>=2657$
利用这个结论,应该可以轻松证明对于充分大n,命题成立.而对于比较小的n,可以用计算机穷举 $kπ(n)≥π(kn)$
应该是等价的问题 :L 百度图片链接不出来。
地址在下面
http://hi.baidu.com/ncutlw/album/item/ce67929418488d3dd31b7062.html 本帖最后由 到处瞎逛 于 2009-5-29 13:05 编辑
如果黎曼猜想(http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%8E%E6%9B%BC%E7%8C%9C%E6%83%B3)成立
我们有结论
$|pi(x)-Li(x)|=2657$
利用这个结论,应该可以轻松证明对于充分大n,命题成立.而对于比较小的n,可以用计算机穷举 ...
mathe 发表于 2009-5-9 22:20 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
那个公式外面有一个绝对值符号，也就是说不是Pi(x)一定就会大于Li(x)，也会出现Pi(x)<Li(x)的情况，但是目前还没有人发现这个情况，出现这个情况的x应该是非常大的一个数字。 From wolfram
For small n, it had been checked and always found that $pi(n)<Li(n)$. As a result, many prominent mathematicians, including no less than both Gauss and Riemann, conjectured that the inequality was strict. To everyone's surprise, this conjecture was refuted when Littlewood (1914) proved that the inequality reverses infinitely often for sufficiently large n(Ball and Coxeter 1987; Havil 2003, p. 199). Skewes then showed that the first crossing of $pi(n)-Li(n)=0$ occurs before $10^10^10^34$, a number now known as the Skewes number (Havil 2003, p. 199). The upper bound for the crossing has subsequently been reduced to $10^371$. Lehman (1966) proved that at least$10^500$ reversals occur for numbers with 1166 or 1167 decimal digits.
通常我们会发现$pi(n)<Li(n)$,但是在$n<10^371$之前必然会出现$pi(n)>Li(n)$的情况 这是数论上相当经典的难题哟,黎曼猜想现在看来证明真是举步为艰啊...
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