mathe 发表于 2009-5-22 15:56:57

而如果$4/n=1/x+1/y+1/z$,那么对于n的任意倍数$nd$,必然有拆分$4/{nd}=1/{xd}+1/{yd}+1/{zd}$
所以余下只要解决所有形如4k+1的素数n就可以了
而其中8k+5形式的也很好办
$4/{8k+5}={4(6k+4)}/{(8k+5)(6k+4)}={3(8k+5)+1}/{(8k+5)(6k+4)}=1/{6k+4}+1/{3k+2}+1/{(8k+5)(6k+4)}$
所以余下只有8k+1形式的素数

mathe 发表于 2009-5-22 15:59:45

对于8k+1,如果$k-=1(mod 3)$,那么
$4/{8k+1}=1/{2k+1}+3/{(8k+1)(2k+1)}$是两个埃及分数之和,将任意一个再拆分成两个即可

wayne 发表于 2009-5-22 17:40:58

关于方程$1/p=1/x+1/y+1/z$的特解，我可以给出很多的：
$1/p=1/{p+1}+1/{p^2+p+1}+1/{p(p+1)(p^2+p+1)}$
$1/p=1/(p+1)+1/{(p+1)^2}+1/{(1+p)^2p}$
$1/p=1/(p+1)+1/{p(p+2)}+1/{p(p+1)(p+2)}$
$1/p=1/(p+1)+1/{p(2p+1)}+1/{(p+1)(2p+1)}$
$1/p=1/(p+1)+1/{2p(p+1)}+1/{2p(p+1)}$
$1/p=1/(p+2)+2/{p(p+3)}+2/{p(p+2)(p+3)}$
$1/p=1/(p+2)+2/{(p+1)(p+2)}+2/{p(p+1)(p+2)}$
$1/p=1/(2p)+1/(2p+1)+1/{2p(2p+1)}$
$1/p=1/(2p)+1/{2(p+1)}+1/{2p(p+1)}$
但特解再多，也不能解决问题。。。

wayne 发表于 2009-5-22 17:50:30

再加一个：
$1/p=1/(2p+1)+1/(2p+1)+1/{p(2p+1)}$

不知道这些特解是否构成全集

wayne 发表于 2009-5-22 18:56:34

方程$4/n=1/x+1/y+1/z$的解如果编程的话，很好给出前面几十个数的所有解：
n=20时，
{{6, 31, 930}, {6, 32, 480}, {6, 33, 330}, {6, 34, 255},
{6, 35,210}, {6, 36, 180}, {6, 39, 130}, {6, 40, 120},
{6, 42, 105}, {6, 45, 90}, {6, 48, 80}, {6, 50, 75},
{6, 55, 66}, {7, 18, 630}, {7, 20, 140}, {7, 21, 105},
{7, 30, 42}, {8, 14, 280}, {8, 15, 120}, {8,16, 80},
{8, 20, 40}, {8, 24, 30}, {9, 12, 180}, {9, 15, 45},
{9, 18, 30}, {10, 11, 110}, {10, 12, 60}, {10, 14, 35},
{10, 15, 30}, {12, 15, 20}}

n=21时，
{{6, 43, 1806}, {6, 44, 924}, {6, 45, 630}, {6, 46, 483}, {6, 48, 336},
{6, 49, 294}, {6, 51, 238}, {6, 54, 189}, {6, 56, 168}, {6, 60, 140},
{6, 63, 126}, {6, 70, 105}, {6, 78, 91}, {7, 22, 462}, {7,24, 168},
{7, 28, 84}, {7, 30, 70}, {8, 16, 336}, {8, 21, 56}, {8, 24, 42},
{9, 14, 126}, {9, 18, 42}, {10, 12, 140}, {10, 15, 42}, {12, 14, 28}}
。。。。

wayne 发表于 2009-5-22 19:09:39

n=100时，有156个解

gxqcn 发表于 2009-5-24 08:56:15

楼主对这个问题研究得比较深了。

数学星空 发表于 2009-6-13 11:06:51

顺便请教高人:
求方程1/x1+1/x2+.....+1/xn=1,且x1,x2,....,xn为两两互素的正整数解?
注:x1,x2,....,xn任两个不能相等哟

mathe 发表于 2009-6-13 16:29:38

顺便请教高人:
求方程1/x1+1/x2+.....+1/xn=1,且x1,x2,....,xn为两两互素的正整数解?
注:x1,x2,....,xn任两个不能相等哟
数学星空 发表于 2009-6-13 11:06 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
两两互素显然无解.
方程两边同时乘上$x_1x_2...x_{n-1}$左边不是整数

数学星空 发表于 2009-6-14 16:06:28

本帖最后由 数学星空 于 2009-6-14 16:19 编辑

求方程1/x1+1/x2+.....+1/xn=1,且x1,x2,....,xn任m个没有大于1的公因子的所有正整数解?
当m=2时,对哪些n存在正整数解x1,x2,...,xn?
当m为何值时,对任何的n必有正整数解x1,x2,....,xn?
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查看完整版本: Yet another Diophantine Equation