关于梅林变换的疑问？？
由梅林变换公式定义:$M(S)=\int_0^{infty} f(x)x^{S-1}dx$,则对于$a>0$有$M(S)=\int_0^{infty} f(ax)x^{S-1}dx=\frac{1}{a^{S-1}}\int_0^{infty} f(ax)(ax)^{S-1}1/a dax=\frac{1}{a^S}M(S)$ (1)
现在看函数\(h_b(x)=\begin{cases}0,&x\lt b \\ 1, &x\ge b\end{cases}， b\gt 0, M(u)=\int_b^{\infty}x^{u-1}dx=\frac{1}{u}x^u|_b^{\infty}=\frac{1}{u}(\infty^u-b^u)\)
此变换当$Re(u)<0$时存在，可设$u=-s$,于是\(M(-s)=\frac{1}{b^s}\frac{1}{s}\)(2)
于是问题来了：若\(b=N\),根据(2)式有: \(M(-s)=\frac{1}{N^s}\frac{1}{s}\),
特别的\(M(-s)=\frac{1}{s}\),将(1)结论带入此特殊情况有\(M(-s)=M(-s)=\frac{1}{(\frac{1}{N})^s}M(-s)=N^s\frac{1}{s}\)
请问哪里错了？ 另外，我在word自带的公式编辑器里打不出大的{，只能按标准键盘打出一个小的{，这样在表示分段函数例如上例的f(x)时很不方便。但以前好像可以打出来的，到底是我忘记怎样用了，还是公式编辑器有问题？？ 问题在于(1)中公式是$M(S)=\frac{1}{a^S}M(S)$
而(2)中结论是$M(-S)=M(-S)=\frac{1}{b^S}\frac{1}{S}$
需要注意这里$M(-S)$使用公式(1)时,$=\frac{1}{a^S}M(S)$中S也要用-S替换 每林变换，用来产生gamma函数
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