关于梅林变换的疑问？？

qingjiao

由梅林变换公式定义:$M[f](S)=\int_0^{infty} f(x)x^{S-1}dx$,则对于$a>0$
有$M[f(ax)](S)=\int_0^{infty} f(ax)x^{S-1}dx=\frac{1}{a^{S-1}}\int_0^{infty} f(ax)(ax)^{S-1}1/a dax=\frac{1}{a^S}M[f(x)](S)$ (1)
现在看函数\(h_b(x)=\begin{cases}0,&x\lt b \\ 1, &x\ge b\end{cases}， b\gt 0, M[h_b(x)](u)=\int_b^{\infty}x^{u-1}dx=\frac{1}{u}x^u|_b^{\infty}=\frac{1}{u}(\infty^u-b^u)\)
此变换当$Re(u)<0$时存在，可设$u=-s$,于是\(M[h_b(x)](-s)=\frac{1}{b^s}\frac{1}{s}\)  (2)
于是问题来了：若\(b=N\),根据(2)式有: \(M[h_N(x)](-s)=\frac{1}{N^s}\frac{1}{s}\),
特别的\(M[h_1(x)](-s)=\frac{1}{s}\),将(1)结论带入此特殊情况有\(M[h_N(x)](-s)=M[h_1(x/N)](-s)=\frac{1}{(\frac{1}{N})^s}M[h_1(x)](-s)=N^s\frac{1}{s}\)
请问哪里错了？

qingjiao

另外，我在word自带的公式编辑器里打不出大的{，只能按标准键盘打出一个小的{，这样在表示分段函数例如上例的f(x)时很不方便。但以前好像可以打出来的，到底是我忘记怎样用了，还是公式编辑器有问题？？

mathe

问题在于(1)中公式是$M[f(ax)](S)=\frac{1}{a^S}M[f(x)](S)$
而(2)中结论是$M[h_b(x)](-S)=M[h_1(x/b)](-S)=\frac{1}{b^S}\frac{1}{S}$
需要注意这里$M[h_1(x/b)](-S)$使用公式(1)时,$=\frac{1}{a^S}M[f(x)](S)$中S也要用-S替换

nyy

每林变换，用来产生gamma函数