判定一个超越方程的解的个数
本帖最后由 shufubisheng 于 2018-1-23 14:14 编辑试判定超越方程Xx=a(实数)的解(X＞0)的个数。 \(a<e^{-1/e}\) 无解
\(a=e^{-1/e}\)一解
\(e^{-1/e}<a<1\)两解
\(a\geq 1 \)一解 `x>0` 故 `a > 0`，所以只需考虑 `x\ln x=\ln a`，转化为求对方程 `x\ln x=b` 的正解问题。
令 `y=f(x)=x\ln x`，导函数 `y'=1+\ln x` 有唯一根 ` x=\frac{1}{\mathrm e}`，从而 `f(x)` 在`(0,1/\mathrm e]` 上单减，`[1/\mathrm e,+\infty)` 上单增.
考虑到 `\D \lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=0`，可补充定义 `f(0)=0`，并且 `f(1/\mathrm e)=-1/\mathrm e<0`，故增区间上还有一个根，易知就是 `x=1`.
这样就很显然了：
当 `b=\ln a<-1/\mathrm e` 即 `a < \sqrt[\mathrm e]{\frac{1}{\mathrm e}}`时，原方程无正解。
当 `a = \sqrt[\mathrm e]{\frac{1}{\mathrm e}}` 时，原方程恰有一正解 `x=\frac{1}{\mathrm e}`.
当 `\sqrt[\mathrm e]{\frac{1}{\mathrm e}} < a < 1` 时，原方程有两个解。
当 `a=1` 时，只有一个正解 `x=1`，另一个奇异解 `x=0^{+}` 排除在外。
当 `a>1` 时，原方程只有一个正解。 kastin 发表于 2018-1-23 17:53
`x>0` 故 `a > 0`，所以只需考虑 `x\ln x=\ln a`，转化为求对方程 `x\ln x=b` 的正解问题。
令 `y=f(x)=x\ ...
解答很详细，不错。 zeroieme 发表于 2018-1-23 17:33
\(a
只有结论，没有过程。
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