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[提问] 判定一个超越方程的解的个数

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发表于 2018-1-23 14:14:21 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 shufubisheng 于 2018-1-23 14:14 编辑

试判定超越方程Xx=a(实数)的解(X>0)的个数。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-1-23 17:33:50 | 显示全部楼层
\(a<e^{-1/e}\) 无解
\(a=e^{-1/e}\)  一解
\(e^{-1/e}<a<1\)两解
\(a\geq 1 \)一解
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-1-23 17:53:25 | 显示全部楼层
`x>0` 故 `a > 0`,所以只需考虑 `x\ln x=\ln a`,转化为求对方程 `x\ln x=b` 的正解问题。
令 `y=f(x)=x\ln x`,导函数 `y'=1+\ln x` 有唯一根 ` x=\frac{1}{\mathrm e}`,从而 `f(x)` 在`(0,1/\mathrm e]` 上单减,`[1/\mathrm e,+\infty)` 上单增.
考虑到 `\D \lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=0`,可补充定义 `f(0)=0`,并且 `f(1/\mathrm e)=-1/\mathrm e<0`,故增区间上还有一个根,易知就是 `x=1`.

这样就很显然了:
当 `b=\ln a<-1/\mathrm e` 即 `a < \sqrt[\mathrm e]{\frac{1}{\mathrm e}}`  时,原方程无正解。
当 `a = \sqrt[\mathrm e]{\frac{1}{\mathrm e}}` 时,原方程恰有一正解 `x=\frac{1}{\mathrm e}`.
当 `\sqrt[\mathrm e]{\frac{1}{\mathrm e}} < a < 1` 时,原方程有两个解。
当 `a=1` 时,只有一个正解 `x=1`,另一个奇异解 `x=0^{+}` 排除在外。
当 `a>1` 时,原方程只有一个正解。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-1-23 21:16:07 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2018-1-23 17:53
`x>0` 故 `a > 0`,所以只需考虑 `x\ln x=\ln a`,转化为求对方程 `x\ln x=b` 的正解问题。
令 `y=f(x)=x\ ...

解答很详细,不错。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-1-23 23:12:25 | 显示全部楼层

只有结论,没有过程。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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