wayne 发表于 2021-12-7 13:42
我来给个稍微不那么显然的问题：求方程是否存在根式表达： $1 - x + x^3 - x^4 + x^5 + 5 x^6 + 4 x^7 + x^8 = 0$
R := RationalField();
R < x > := PolynomialRing(R);
f := 1 - x + x^3 - x^4 + x^5 + 5*x^6 + 4*x^7 + x^8;
G := GaloisGroup(f);
print G;
GroupName(G: TeX:=true);
IsSolvable(G);
Magma显示方程的伽罗瓦群的可解群
Permutation group G acting on a set of cardinality 8
Order = 64 = 2^6
(1, 6)(2, 4)(3, 8)(5, 7)
(1, 3)(2, 5)(4, 7)(6, 8)
(2, 7)(4, 5)
(3, 6)(4, 5)
(4, 5)
(1, 2, 3, 4, 8, 7, 6, 5)
C_2{\rm wrC}_4
true 你这并没有给出解的 形式 wayne 发表于 2021-12-7 13:42
我来给个稍微不那么显然的问题：求方程是否存在根式表达： $1 - x + x^3 - x^4 + x^5 + 5 x^6 + 4 x^7 + x^ ...
原八次方程可因式分解为四个二次方程，即
\[\begin{eqnarray*}
&&x^{8}+4x^{7}+5x^{6}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1\\&=&\prod_{n=1}^{4}\left(x^{2}+x+t\right)
\end{eqnarray*}\]
其中，$t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+1=0$,容易看出来其解为$t_{n}=\exp\left(\frac{2n\pi i}{5}\right),n=1,2,3,4$
所以，方程的根可以表示为
\[\begin{eqnarray*}
x&=&\frac{-1\pm\sqrt{1-4\exp\left(\frac{2n\pi i}{5}\right)}}{2},n=1,2,3,4
\end{eqnarray*}\]
或者展开为根式
\[\begin{eqnarray*}
x_{1,2,3,4}&=&\frac{-1\pm\sqrt{2+\sqrt{5}\pm\sqrt{10-2\sqrt{5}}i}}{2}\\x_{5,6,7,8}&=&\frac{-1\pm\sqrt{2-\sqrt{5}\pm\sqrt{10+2\sqrt{5}}i}}{2}
\end{eqnarray*}\] 本帖最后由 nyy 于 2024-1-12 15:43 编辑
wayne 发表于 2021-12-7 18:43
你这并没有给出解的 形式
让我来求解一下你的方程！
http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/
R<x> := PolynomialRing(Rationals());
f := 1 - x + x^3 - x^4 + x^5 + 5*x^6 + 4*x^7 + x^8;
K, R:= SolveByRadicals(f : Name := "r");
K:Maximal;
输出结果
K<r1>
|
|
$1<r2>
|
|
$2<r3>
|
|
$3<r4>
|
|
$4<r5>
|
|
$5<r6>
|
|
Q
K: r1^2 + (-1/4*r5 - 1/4)*r4 + 1/4*r5 - 1/2
$1 : r2^2 + 1/2*r4 + -1/4*r5 - 1/2
$2 : r3^2 + -1/2*r4 + -1/4*r5 - 1/2
$3 : r4^2 + -1/2*r5 + 5/2
$4 : r5^2 - 5
$5 : r6^2 - 341
然后把上面的求解结果中的
$2 : r3^2 + -1/2*r4 + -1/4*r5 - 1/2
$3 : r4^2 + -1/2*r5 + 5/2
$4 : r5^2 - 5
拿出来联立求解方程组，把这个活交给mathematica，上代码
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
$MaxExtraPrecision =200;
ans=Solve[{
r3^2 + -1/2*r4 + -1/4*r5 - 1/2,
r4^2 + -1/2*r5 + 5/2,
r5^2 - 5
}==0,{r3,r4,r5}]//Simplify;
aa=Union[(r3/.ans)-1/2]//FullSimplify//ToRadicals
f=1 - x + x^3 - x^4 + x^5 + 5*x^6 + 4*x^7 + x^8
bb=(f/.x->aa)//N[#,20]&
cc=Sort@Abs@bb
求解后再验根，数值验根是正确的，求解结果如下：
\[\begin{array}{c}
-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{5}-i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}} \\
\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{2+\sqrt{5}-i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}}\right) \\
-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{5}+i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}} \\
\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{2+\sqrt{5}+i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}}\right) \\
\frac{1}{2} \left(-1-\sqrt{2-\sqrt{5}-i \sqrt{2 \left(5+\sqrt{5}\right)}}\right) \\
\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{2-\sqrt{5}-i \sqrt{2 \left(5+\sqrt{5}\right)}}\right) \\
\frac{1}{2} \left(-1-\sqrt{2-\sqrt{5}+i \sqrt{2 \left(5+\sqrt{5}\right)}}\right) \\
\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{2-\sqrt{5}+i \sqrt{2 \left(5+\sqrt{5}\right)}}\right) \\
\end{array}\]
这个就是你要的根式解！
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