分圆方程式根式求解

葡萄糖

wayne 发表于 2021-12-7 13:42
我来给个稍微不那么显然的问题：求方程是否存在根式表达： $1 - x + x^3 - x^4 + x^5 + 5 x^6 + 4 x^7 + x^8 = 0$

1. R := RationalField();
   
2. R < x > := PolynomialRing(R);
   
3. f := 1 - x + x^3 - x^4 + x^5 + 5*x^6 + 4*x^7 + x^8;
   
4. G := GaloisGroup(f);
   
5. print G;
   
6. GroupName(G: TeX:=true);
   
7. IsSolvable(G);

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Magma显示方程的伽罗瓦群的可解群

1. Permutation group G acting on a set of cardinality 8
   
2. Order = 64 = 2^6
   
3.     (1, 6)(2, 4)(3, 8)(5, 7)
   
4.     (1, 3)(2, 5)(4, 7)(6, 8)
   
5.     (2, 7)(4, 5)
   
6.     (3, 6)(4, 5)
   
7.     (4, 5)
   
8.     (1, 2, 3, 4, 8, 7, 6, 5)
   
9. C_2{\rm wrC}_4
   
10. true

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wayne

你这并没有给出解的 形式

xiaoshuchong

wayne 发表于 2021-12-7 13:42
我来给个稍微不那么显然的问题：求方程是否存在根式表达： $1 - x + x^3 - x^4 + x^5 + 5 x^6 + 4 x^7 + x^ ...

原八次方程可因式分解为四个二次方程，即
\[\begin{eqnarray*}
&&x^{8}+4x^{7}+5x^{6}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1\\&=&\prod_{n=1}^{4}\left(x^{2}+x+t\right)
\end{eqnarray*}\]
其中，$t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+1=0$,容易看出来其解为$t_{n}=\exp\left(\frac{2n\pi i}{5}\right),n=1,2,3,4$
所以，方程的根可以表示为
\[\begin{eqnarray*}
x&=&\frac{-1\pm\sqrt{1-4\exp\left(\frac{2n\pi i}{5}\right)}}{2},n=1,2,3,4
\end{eqnarray*}\]
或者展开为根式
\[\begin{eqnarray*}
x_{1,2,3,4}&=&\frac{-1\pm\sqrt{2+\sqrt{5}\pm\sqrt{10-2\sqrt{5}}i}}{2}\\x_{5,6,7,8}&=&\frac{-1\pm\sqrt{2-\sqrt{5}\pm\sqrt{10+2\sqrt{5}}i}}{2}
\end{eqnarray*}\]

nyy

wayne 发表于 2021-12-7 18:43
你这并没有给出解的 形式

让我来求解一下你的方程！

http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/

1. R<x> := PolynomialRing(Rationals());
   
2. f := 1 - x + x^3 - x^4 + x^5 + 5*x^6 + 4*x^7 + x^8;
   
3. K, R:= SolveByRadicals(f : Name := "r");
   
4. K:Maximal;
   

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输出结果

1. 
   
2.   K<r1>
   
3.     |
   
4.     |
   
5.   $1<r2>
   
6.     |
   
7.     |
   
8.   $2<r3>
   
9.     |
   
10.     |
    
11.   $3<r4>
    
12.     |
    
13.     |
    
14.   $4<r5>
    
15.     |
    
16.     |
    
17.   $5<r6>
    
18.     |
    
19.     |
    
20.     Q
    
21. 
    
22. K  : r1^2 + (-1/4*r5 - 1/4)*r4 + 1/4*r5 - 1/2
    
23. $1 : r2^2 + 1/2*r4 + -1/4*r5 - 1/2
    
24. $2 : r3^2 + -1/2*r4 + -1/4*r5 - 1/2
    
25. $3 : r4^2 + -1/2*r5 + 5/2
    
26. $4 : r5^2 - 5
    
27. $5 : r6^2 - 341
    
28. 
    
29. 
    

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然后把上面的求解结果中的

1. $2 : r3^2 + -1/2*r4 + -1/4*r5 - 1/2
   
2. $3 : r4^2 + -1/2*r5 + 5/2
   
3. $4 : r5^2 - 5

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拿出来联立求解方程组，把这个活交给mathematica，上代码

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. $MaxExtraPrecision =200;
   
3. ans=Solve[{
   
4. r3^2 + -1/2*r4 + -1/4*r5 - 1/2,
   
5. r4^2 + -1/2*r5 + 5/2,
   
6. r5^2 - 5
   
7. }==0,{r3,r4,r5}]//Simplify;
   
8. aa=Union[(r3/.ans)-1/2]//FullSimplify//ToRadicals
   
9. f=1 - x + x^3 - x^4 + x^5 + 5*x^6 + 4*x^7 + x^8
   
10. bb=(f/.x->aa)//N[#,20]&
    
11. cc=Sort@Abs@bb
    

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求解后再验根，数值验根是正确的，求解结果如下：

\[\begin{array}{c}
-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{5}-i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}} \\
\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{2+\sqrt{5}-i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}}\right) \\
-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{5}+i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}} \\
\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{2+\sqrt{5}+i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}}\right) \\
\frac{1}{2} \left(-1-\sqrt{2-\sqrt{5}-i \sqrt{2 \left(5+\sqrt{5}\right)}}\right) \\
\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{2-\sqrt{5}-i \sqrt{2 \left(5+\sqrt{5}\right)}}\right) \\
\frac{1}{2} \left(-1-\sqrt{2-\sqrt{5}+i \sqrt{2 \left(5+\sqrt{5}\right)}}\right) \\
\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{2-\sqrt{5}+i \sqrt{2 \left(5+\sqrt{5}\right)}}\right) \\
\end{array}\]

这个就是你要的根式解！