论坛 › 难题征解 › 求三角形的一个特殊圆半径

hujunhua 发表于 2018-9-2 16:06:47

既然 `R(a,b,c)`是二次方程的解，R就是尺规可作的。同样R-a, R-b, R-c 也是尺规可作的，因此定点 `P` 就是尺规可作的。
探索一下 P 尺规作图方法不失为一个有趣的问题。

记得有一个网站列举了三角形的各种对称中心，应该包括该点。可惜忘了网址。

hujunhua 发表于 2018-9-2 16:41:08

如果点 `P` 不限于三角形所在平面内，则为动点，其轨迹是一条三维空间的曲线，也不失为一个有趣的问题。
当三角形为全等三角形时，曲线退化为一条直线，此为平凡情况，不用讨论。
当三角形为等腰三角形时，曲线退化为一条平面曲线，问题有所简化，许对三维的解有所启示。

hujunhua 发表于 2018-9-2 23:44:38

如图所示，x+a=y+b → x-y=b-a，所以 P 在以顶点A、B为焦点，过顶点C的双曲线上（l红色)。
同理，P 也在以B、C为焦点，过点A的双曲线上（绿色）。
同理，P 还在以C、A为焦点，过点B的双曲线上（蓝色）。
三条双曲线若相交于一点，必定还相交于另一点。

当 P 不局限于平面ABC时，x+a=y+b → x-y=b-a，则P 在以顶点A、B为焦点，过顶点C的旋转双曲面上（l红色)
同理，P 也在以B、C为焦点，过点A的旋转双曲面上（绿色）。
同理，P 还在以C、A为焦点，过点B的旋转双曲面上（蓝色）。
三个旋转双曲线面相交于一条曲线，必定还相交于另一条曲线。

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