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楼主: 葡萄糖

[讨论] 求三角形的一个特殊圆半径

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发表于 2018-9-2 16:06:47 | 显示全部楼层
既然 `R(a,b,c)`是二次方程的解,R就是尺规可作的。同样R-a, R-b, R-c 也是尺规可作的,因此定点 `P` 就是尺规可作的。
探索一下 P 尺规作图方法不失为一个有趣的问题。

记得有一个网站列举了三角形的各种对称中心,应该包括该点。可惜忘了网址。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-2 16:41:08 | 显示全部楼层
如果点 `P` 不限于三角形所在平面内,则为动点,其轨迹是一条三维空间的曲线,也不失为一个有趣的问题。
当三角形为全等三角形时,曲线退化为一条直线,此为平凡情况,不用讨论。
当三角形为等腰三角形时,曲线退化为一条平面曲线,问题有所简化,许对三维的解有所启示。
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发表于 2018-9-2 23:44:38 | 显示全部楼层
捕获.PNG
如图所示,x+a=y+b → x-y=b-a,所以 P 在以顶点A、B为焦点,过顶点C的双曲线上(l红色)。
同理,P 也在以B、C为焦点,过点A的双曲线上(绿色)。
同理,P 还在以C、A为焦点,过点B的双曲线上(蓝色)。
三条双曲线若相交于一点,必定还相交于另一点。

当 P 不局限于平面ABC时,x+a=y+b → x-y=b-a,则P 在以顶点A、B为焦点,过顶点C的旋转双曲面上(l红色)
同理,P 也在以B、C为焦点,过点A的旋转双曲面上(绿色)。
同理,P 还在以C、A为焦点,过点B的旋转双曲面上(蓝色)。
三个旋转双曲线面相交于一条曲线,必定还相交于另一条曲线。
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