求三角形的一个特殊圆半径

葡萄糖

在给定三角形\(\triangle ABC\)内求一定点\(P\)，使得各顶点到 `P` 的距离与其对边边长之和为定值，即\[|PA|+|BC|=|PB|+|AC|=|PC|+|AB|=:R\]
记三角形三边长为`a,b,c`, 求\(R(a,b,c)\)。

葡萄糖

由此可列出方程组：
\begin{cases}
a^2=(R-b)^2+(R-c)^2-2(R-b)(R-c)\cos\alpha\\
b^2=(R-a)^2+(R-c)^2-2(R-b)(R-c)\cos\beta\\
c^2=(R-a)^2+(R-b)^2-2(R-a)(R-b)\cos(\alpha+\beta)
\end{cases}

shufubisheng

葡萄糖 发表于 2018-8-25 23:25
由此可列出方程组：
\begin{cases}
a^2=(R-b)^2+(R-c)^2-2(R-b)(R-c)\cos\alpha\\

进行消元（α 、β ），岂不得到求R的代数方程？

wayne

就是四面体体积公式的 那个行列式的值为0；
\[\begin{vmatrix}
0 & (R-a)^2 & (R-b)^2 & (R-c)^2 & 1 \\
(R-a)^2 & 0 & c^2 & b^2 & 1 \\
(R-b)^2 & c^2 & 0 & a^2 & 1 \\
(R-c)^2 & b^2 & a^2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
\end{vmatrix}
= 0\]

葡萄糖

wayne 发表于 2018-8-26 11:31
就是四面体体积公式的 那个行列式的值为0；
\[\begin{vmatrix}
0 & (R-a)^2 & (R-b)^2 & (R-c)^2 & 1 \\
(R-a)^2 & 0 & b^2 & c^2 & 1 \\
(R-b)^2 & b^2 & 0 & a^2 & 1 \\
(R-c)^2 & c^2 & a^2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{vmatrix}
= 0\]

非常谢谢。
记关于`a,b,c`的基本对称式`\sigma_1=a+b+c,\sigma_2=ab+bc+ca,\sigma_3=abc`，将上述行列式展开后可得关于 `R` 的一元二次方程\[uR^2-vR+w=0\]
式中\[ \left\{\begin{align*}
u=&\,10\sigma_1^4-48\sigma_1^2\sigma_2+64\sigma_1\sigma_3+32\sigma_2^2\\
\\
v=&\,12\sigma_1^5-64\sigma_1^3\sigma_2+80\sigma_1^2\sigma_3+64\sigma_1\sigma_2^2-64\sigma_2\sigma_3\\
\\
w=&\,4\sigma_1^6-24\sigma_1^4\sigma_2+32\sigma_1^3\sigma_3+32\sigma_1^2\sigma_2^2-64\sigma_1\sigma_2\sigma_3+32\sigma_3^2\\
\end{align*}\right. \]

shufubisheng

原来是关于 `R` 的二次方程, 那么定点 `P` 和半径 `R` 会有两解吗？ 值得探讨！

倪举鹏

Solve[ArcCos[((r - a)^2 + (r - b)^2 - c^2)/(2*(r - a)*(r - b))] +
   ArcCos[((r - b)^2 + (r - c)^2 - a^2)/(2*(r - b)*(r - c))] +
   ArcCos[((r - c)^2 + (r - a)^2 - b^2)/(2*(r - c)*(r - a))] ==
  2*\[Pi], r]就一个反三角函数方程。代入特殊值，解唯一

shufubisheng

倪举鹏 发表于 2018-8-30 16:18
Solve[ArcCos[((r - a)^2 + (r - b)^2 - c^2)/(2*(r - a)*(r - b))] +
   ArcCos[((r - b)^2 + (r - c)^2 ...

你这是数值解法，不是证明。

mathematica

shufubisheng 发表于 2018-8-30 19:20
你这是数值解法，不是证明。

二次方程，最多两个根，你多算几次，就能发现有的根小于边长

shufubisheng

mathematica 发表于 2018-8-31 12:45
二次方程，最多两个根，你多算几次，就能发现有的根小于边长

既然是两根，自有其几何意义，小于边长并不一定就要舍去。
两解的几何意义分析\[R_{1,2}=\frac{v\pm\sqrt\Delta}{2u},(\Delta=v^2-4uw)\]当用`-a,-b,-c`代入后可得\[R_{3,4}=\frac{-v\pm\sqrt\Delta}{2u}=-R_{2,1}\]
也就是说，所谓两解，第二解不过是把边长取负值的结果，或者说把“各顶点到定点的距离与对边之和”变成了之差。
我们最初的定义是\[|PA|+|BC|=|PB|+|AC|=|PC|+|AB|=:R\]然而在代数方程的转化过程中（平方去根号和绝对值符号的操作）产生了增根，定义变成了\[|PA|\pm|BC|=|PB|\pm|AC|=|PC|\pm|AB|=:R\]增根既然是以差定义的，`R`小于边长甚至为负值就很正常了。