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[讨论] 求三角形的一个特殊圆半径

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发表于 2018-8-25 23:20:45 | 显示全部楼层 |阅读模式

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在给定三角形\(\triangle ABC\)内求一定点\(P\),使得各顶点到 `P` 的距离与其对边边长之和为定值,即\[|PA|+|BC|=|PB|+|AC|=|PC|+|AB|=:R\]
记三角形三边长为`a,b,c`, 求\(R(a,b,c)\)。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-8-25 23:25:44 | 显示全部楼层
由此可列出方程组:
\begin{cases}
a^2=(R-b)^2+(R-c)^2-2(R-b)(R-c)\cos\alpha\\
b^2=(R-a)^2+(R-c)^2-2(R-b)(R-c)\cos\beta\\
c^2=(R-a)^2+(R-b)^2-2(R-a)(R-b)\cos(\alpha+\beta)
\end{cases}
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发表于 2018-8-26 07:23:24 | 显示全部楼层
葡萄糖 发表于 2018-8-25 23:25
由此可列出方程组:
\begin{cases}
a^2=(R-b)^2+(R-c)^2-2(R-b)(R-c)\cos\alpha\\

进行消元(α 、β ),岂不得到求R的代数方程?
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发表于 2018-8-26 11:31:21 | 显示全部楼层
就是四面体体积公式的 那个行列式的值为0;
\[\begin{vmatrix}
0 & (R-a)^2 & (R-b)^2 & (R-c)^2 & 1 \\
(R-a)^2 & 0 & c^2 & b^2 & 1 \\
(R-b)^2 & c^2 & 0 & a^2 & 1 \\
(R-c)^2 & b^2 & a^2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
\end{vmatrix}
= 0\]

点评

敏锐!!  发表于 2018-9-2 14:14
一语中的 :-)  发表于 2018-8-26 14:28

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 楼主| 发表于 2018-8-27 00:14:06 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2018-8-26 11:31
就是四面体体积公式的 那个行列式的值为0;
\[\begin{vmatrix}
0 & (R-a)^2 & (R-b)^2 & (R-c)^2 & 1 \\
(R-a)^2 & 0 & b^2 & c^2 & 1 \\
(R-b)^2 & b^2 & 0 & a^2 & 1 \\
(R-c)^2 & c^2 & a^2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{vmatrix}
= 0\]

非常谢谢。
记关于`a,b,c`的基本对称式`\sigma_1=a+b+c,\sigma_2=ab+bc+ca,\sigma_3=abc`,将上述行列式展开后可得关于 `R` 的一元二次方程\[uR^2-vR+w=0\]
式中\[ \left\{\begin{align*}
u=&\,10\sigma_1^4-48\sigma_1^2\sigma_2+64\sigma_1\sigma_3+32\sigma_2^2\\
\\
v=&\,12\sigma_1^5-64\sigma_1^3\sigma_2+80\sigma_1^2\sigma_3+64\sigma_1\sigma_2^2-64\sigma_2\sigma_3\\
\\
w=&\,4\sigma_1^6-24\sigma_1^4\sigma_2+32\sigma_1^3\sigma_3+32\sigma_1^2\sigma_2^2-64\sigma_1\sigma_2\sigma_3+32\sigma_3^2\\
\end{align*}\right. \]

点评

我发现你还故意整理成了对称多项式  发表于 2018-8-29 16:04
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发表于 2018-8-28 13:30:44 | 显示全部楼层
原来是关于 `R` 的二次方程, 那么定点 `P` 和半径 `R` 会有两解吗? 值得探讨!
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发表于 2018-8-30 16:18:03 | 显示全部楼层
Solve[ArcCos[((r - a)^2 + (r - b)^2 - c^2)/(2*(r - a)*(r - b))] +
   ArcCos[((r - b)^2 + (r - c)^2 - a^2)/(2*(r - b)*(r - c))] +
   ArcCos[((r - c)^2 + (r - a)^2 - b^2)/(2*(r - c)*(r - a))] ==
  2*\[Pi], r]就一个反三角函数方程。代入特殊值,解唯一

点评

a=5,b=6,c=7,r=9.43326  发表于 2018-8-30 16:22
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-8-30 19:20:18 | 显示全部楼层
倪举鹏 发表于 2018-8-30 16:18
Solve[ArcCos[((r - a)^2 + (r - b)^2 - c^2)/(2*(r - a)*(r - b))] +
   ArcCos[((r - b)^2 + (r - c)^2 ...

你这是数值解法,不是证明。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-8-31 12:45:35 | 显示全部楼层
shufubisheng 发表于 2018-8-30 19:20
你这是数值解法,不是证明。

二次方程,最多两个根,你多算几次,就能发现有的根小于边长
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-8-31 13:07:43 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2018-8-31 12:45
二次方程,最多两个根,你多算几次,就能发现有的根小于边长
既然是两根,自有其几何意义,小于边长并不一定就要舍去。
两解的几何意义分析\[R_{1,2}=\frac{v\pm\sqrt\Delta}{2u},(\Delta=v^2-4uw)\]当用`-a,-b,-c`代入后可得\[R_{3,4}=\frac{-v\pm\sqrt\Delta}{2u}=-R_{2,1}\]
也就是说,所谓两解,第二解不过是把边长取负值的结果,或者说把“各顶点到定点的距离与对边之和”变成了之差。
我们最初的定义是\[|PA|+|BC|=|PB|+|AC|=|PC|+|AB|=:R\]然而在代数方程的转化过程中(平方去根号和绝对值符号的操作)产生了增根,定义变成了\[|PA|\pm|BC|=|PB|\pm|AC|=|PC|\pm|AB|=:R\]增根既然是以差定义的,`R`小于边长甚至为负值就很正常了。
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