《集合论》开篇
第一部分朴素集合论第一章集合及其运算
§1集合的基本概念
1．1集合及其表示
在很多情况下，我们都不是研究在孤立状态下的各个事物，而是在它们之间的联系中去研究它们。具有某种共同性质的事物，可联合在一个整体内，一块被研究。这样，在算术内并不研究单独的数3或5，而是研究所有素数的整体，即具有这样共同性质的数的整体，除了本身和单位1之外，被任何别的（自然）数都除不尽的。在代数中也讨论这样一些整体，如多项式，代数分式。在几何学中，研究所有三角形的性质，以及讨论具有某种共同性质的点的整体（轨迹）等等。
这种整体的一般理论，叫做集合论。相对而言，“集合”是一个较新的数学名词，它在100多年前康托①比较集合的基数时才出现。从有限集推进到无限集是康托的不朽贡献，这是通过一系列内心和外界的斗争而后完成的：对表面上存在着的怀疑，对因袭的成见、哲学的武断（无限不存在！），以及对普遍存在着的怀疑，而这就是上世纪的大数学家也不例外。康托由此成为一门崭新的学科——集合论——的缔造者。于今，集合论已经构成全部数学的基础了！
我们的研究对象——集合②——是数学中最基本的概念，就像几何学中“点”的概念一样——是不能用其它概念加以定义的概念。对于集合，我们只给予一种描述：考虑若干具有某种共同属性且互不相同③的事物的整体（这里的事物，可以是具体的，也可以是抽象的），这个整体就称作集合（简称集），而集合中的事物，则称作该集合的元素（简称元）。
例如，平面上的所有点的整体做成平面点集，而平面上的每个点是这个集合（平面点集）的元素。
通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合；而用小写拉丁字母a，b，c，…表示组成集合的事物，即元素。
要说明的是，一事物对于一个给定的集合来说，要么是它的元素，要么不是它的元素，二者必居其一，但不可兼得。也就是说，一个集合含有哪些事物，不含哪些事物是完全确定的④。
一事物a与一集A之间的关系，依G．皮亚诺⑤，我们用下面的话和式子来表示：
a是A 的元素：aÎA，读做a属于A。
这断语的反面是：
a不是集合A中的元素：aÏA，读做a不属于A。
这里，与通常一样，我们用斜线划过某个符号，表示这个符号的意义的否定。
①康托（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp；1845.3.3—1918.1.6）德国数学家。
②集合论的创始者康托是这样描述集合的：所谓集合，是指我们无意中或思想中将一些确定的，彼此完全不同的客体的总和而考虑为一个整体。这些客体叫做该集合的元素。
③在本书中，涉及的集合都是由不同的对象（元素）组成的。多重集合是集合概念的推广。在一个集合中，相同的元素只能出现一次，因此只能显示出有或无的属性。在多重集之中，同一个元素可以出现多次。
一个元素在多重集里出现的次数称为这个元素在多重集里面的重数（或重次、重复度）。举例来说，{1，1，1，2，2，3}是一个多重集合，而不是一个集合。其中元素1的重数是3，2的重数是2，3的重数是1。其元素个数是6。
其实，集合可看成是每个元素重数均小于等于1的多重集合。
④这样，一集合以特有的但不可定义的方式确定了某些不同的事物：a，b，c，…，而这些事物又反过来确定了这集合。
⑤G．皮亚诺（Peano，Giuseppe；1858.8.27—1932.4.20）意大利数学家。
例如，设A是所有平面四边形的整体做成的一个集合，则每一个矩形或正方形都属于这个集合，而任何一个三角形则不属于这个集合。
只有有限个元素做成的集合，称为有限集（有穷集）；反之，若一个集合含有无限个元素，则称它是无限集（无穷集）。
为方便计，也容许有空集合（记作Ø①），这是不含任何元素的集合。A=Ø的意义是，集合A没有元素，是空的，“消失了”。要是不把空集当作集，则势将在无数情况中，只要我们讲到一集，就得添上一个附注：“如果此集是存在的”。事实上，因为单凭一集的定义，往往还全不知道这样的元素到底是否存在：例如，在二十世纪末叶以前，人们并不知道能使方程
xn+2+yn+2=zn+2
对自然数x，y，z可解的自然数n的集合是否为空（即著名的费马大定理②是否为真）。故断语A=Ø能表达一项实在的认识——自然，在别的一些情况中也可能是件显见的事实。许多数学断言，甚至一切数学断言，若不顾繁琐，都可以转成A=Ø的形式。因此，空集的引入正如数零的引入一样，系出于方便合用的理由。另一方面，这也常常是为了要明确地指出某集合在一定理的假设下的不消失（正如某数的不消失）。
对于有限集合例如集合A，常用符号|A|表示A的元素的个数，并称|A|=0的集合（例如Ø）为0元集，|A|=1的集合为单元集或1元集，|A|=2的集合为2元集，…，|A|=n的集合为n元集（n≥1）。
转而讨论集合的表示。
如前所述，给定了若干具有共同属性的事物，便给出了一集合。由此，通常用以下几种方法来表示集合：
1°列举法：将集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，并用花括号将它们括起来：{a，b，…，c，…}③。这种表示集合的方法叫做列举法，它常用于表示有限集合。
如：A={2，3，4}，这就表示集合A由元素2，3，4组成。
运用列举法表示集合时必须注意下面两点：
（1）元素的无序性：这意思是说，对于一个集合，我们仅关心它含有哪些元素，至于列举时，元素出现的先后次序是无关紧要的，如集合{-1，0，2，7}也可以表示为{2，0，7，-1}；
（2）元素的互异性：列举出来的元素应互不相同，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。例如构成英文单词usually的字母集合是{u，s，a，l，y}，而不是{u，s，u，a，l，l，y}。互异性使集合中的元素没有重复。
2°描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的共同属性用文字、符号或式子等描述出来④，写在大括号内：{x︱P（x）}（x为该集合的元素的一般形式，P（x）则表示元素x所具有的某种性质），
①Ø是丹麦字母，发音为“ugh”。
②费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶•德•费玛（Pierre de Fermat；1601—1665）提出。它断言当整数n＞2时，关于x，y，z的方程 xn+yn=zn没有正整数解。
被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁•怀尔斯（Andrew Wiles；1953—）彻底证明。
③花括号{ }包含有“所有”的意思，若写出{所有的自然数}{一切三角形}是错误的，符号{ }就是所有或“全体”之意。
④这样，集合中的元素，就由这性质所决定着：具有该性质的，则就是该集合的元素；不具有该性质的，则不是该集合的元素。
这种表示集合的方法叫做描述法。
如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x︱0＜x＜π}。
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