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[原创] 《集合论》开篇

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发表于 2018-8-26 13:37:02 | 显示全部楼层 |阅读模式

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                                                                                                                                                  第一章  集合及其运算
                                                                                                                                                    §1集合的基本概念
1.1集合及其表示
      在很多情况下,我们都不是研究在孤立状态下的各个事物,而是在它们之间的联系中去研究它们。具有某种共同性质的事物,可联合在一个整体内,一块被研究。这样,在算术内并不研究单独的数3或5,而是研究所有素数的整体,即具有这样共同性质的数的整体,除了本身和单位1之外,被任何别的(自然)数都除不尽的。在代数中也讨论这样一些整体,如多项式,代数分式。在几何学中,研究所有三角形的性质,以及讨论具有某种共同性质的点的整体(轨迹)等等。
       这种整体的一般理论,叫做集合论。相对而言,“集合”是一个较新的数学名词,它在100多年前康托①比较集合的基数时才出现。从有限集推进到无限集是康托的不朽贡献,这是通过一系列内心和外界的斗争而后完成的:对表面上存在着的怀疑,对因袭的成见、哲学的武断(无限不存在!),以及对普遍存在着的怀疑,而这就是上世纪的大数学家也不例外。康托由此成为一门崭新的学科——集合论——的缔造者。于今,集合论已经构成全部数学的基础了!
       我们的研究对象——集合②——是数学中最基本的概念,就像几何学中“点”的概念一样——是不能用其它概念加以定义的概念。对于集合,我们只给予一种描述:考虑若干具有某种共同属性且互不相同③的事物的整体(这里的事物,可以是具体的,也可以是抽象的),这个整体就称作集合(简称集),而集合中的事物,则称作该集合的元素(简称元)。
例如,平面上的所有点的整体做成平面点集,而平面上的每个点是这个集合(平面点集)的元素。
        通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合;而用小写拉丁字母a,b,c,…表示组成集合的事物,即元素。
        要说明的是,一事物对于一个给定的集合来说,要么是它的元素,要么不是它的元素,二者必居其一,但不可兼得。也就是说,一个集合含有哪些事物,不含哪些事物是完全确定的④。
        一事物a与一集A之间的关系,依G.皮亚诺⑤,我们用下面的话和式子来表示:
                                          a是A 的元素:aÎA,读做a属于A。
这断语的反面是:
                                  a不是集合A中的元素:aÏA,读做a不属于A。
这里,与通常一样,我们用斜线划过某个符号,表示这个符号的意义的否定。

①康托(Cantor,Georg Ferdinand Ludwig Philipp;1845.3.3—1918.1.6)德国数学家。
②集合论的创始者康托是这样描述集合的:所谓集合,是指我们无意中或思想中将一些确定的,彼此完全不同的客体的总和而考虑为一个整体。这些客体叫做该集合的元素。
③在本书中,涉及的集合都是由不同的对象(元素)组成的。多重集合是集合概念的推广。在一个集合中,相同的元素只能出现一次,因此只能显示出有或无的属性。在多重集之中,同一个元素可以出现多次。
一个元素在多重集里出现的次数称为这个元素在多重集里面的重数(或重次、重复度)。举例来说,{1,1,1,2,2,3}是一个多重集合,而不是一个集合。其中元素1的重数是3,2的重数是2,3的重数是1。其元素个数是6。
其实,集合可看成是每个元素重数均小于等于1的多重集合。
④这样,一集合以特有的但不可定义的方式确定了某些不同的事物:a,b,c,…,而这些事物又反过来确定了这集合。
⑤G.皮亚诺(Peano,Giuseppe;1858.8.27—1932.4.20)意大利数学家。


        例如,设A是所有平面四边形的整体做成的一个集合,则每一个矩形或正方形都属于这个集合,而任何一个三角形则不属于这个集合。
只有有限个元素做成的集合,称为有限集(有穷集);反之,若一个集合含有无限个元素,则称它是无限集(无穷集)。
为方便计,也容许有空集合(记作Ø①),这是不含任何元素的集合。A=Ø的意义是,集合A没有元素,是空的,“消失了”。要是不把空集当作集,则势将在无数情况中,只要我们讲到一集,就得添上一个附注:“如果此集是存在的”。事实上,因为单凭一集的定义,往往还全不知道这样的元素到底是否存在:例如,在二十世纪末叶以前,人们并不知道能使方程
xn+2+yn+2=zn+2
对自然数x,y,z可解的自然数n的集合是否为空(即著名的费马大定理②是否为真)。故断语A=Ø能表达一项实在的认识——自然,在别的一些情况中也可能是件显见的事实。许多数学断言,甚至一切数学断言,若不顾繁琐,都可以转成A=Ø的形式。因此,空集的引入正如数零的引入一样,系出于方便合用的理由。另一方面,这也常常是为了要明确地指出某集合在一定理的假设下的不消失(正如某数的不消失)。
对于有限集合例如集合A,常用符号|A|表示A的元素的个数,并称|A|=0的集合(例如Ø)为0元集,|A|=1的集合为单元集或1元集,|A|=2的集合为2元集,…,|A|=n的集合为n元集(n≥1)。
转而讨论集合的表示。
如前所述,给定了若干具有共同属性的事物,便给出了一集合。由此,通常用以下几种方法来表示集合:
1°列举法:将集合中的元素一一列举出来,元素之间用逗号隔开,并用花括号将它们括起来:{a,b,…,c,…}③。这种表示集合的方法叫做列举法,它常用于表示有限集合。
如:A={2,3,4},这就表示集合A由元素2,3,4组成。
运用列举法表示集合时必须注意下面两点:
(1)元素的无序性:这意思是说,对于一个集合,我们仅关心它含有哪些元素,至于列举时,元素出现的先后次序是无关紧要的,如集合{-1,0,2,7}也可以表示为{2,0,7,-1};
(2)元素的互异性:列举出来的元素应互不相同,两个相同的对象在同一个集合中时,只能算作这个集合的一个元素。例如构成英文单词usually的字母集合是{u,s,a,l,y},而不是{u,s,u,a,l,l,y}。互异性使集合中的元素没有重复。
2°描述法:常用于表示无限集合,把集合中元素的共同属性用文字、符号或式子等描述出来④,写在大括号内:{x︱P(x)}(x为该集合的元素的一般形式,P(x)则表示元素x所具有的某种性质),


①Ø是丹麦字母,发音为“ugh”。
②费马大定理,又被称为“费马最后的定理”,由17世纪法国数学家皮耶•德•费玛(Pierre de Fermat;1601—1665)提出。它断言当整数n>2时,关于x,y,z的方程 xn+yn=zn没有正整数解。
被提出后,经历多人猜想辩证,历经三百多年的历史,最终在1995年被英国数学家安德鲁•怀尔斯(Andrew Wiles;1953—)彻底证明。
③花括号{ }包含有“所有”的意思,若写出{所有的自然数}{一切三角形}是错误的,符号{ }就是所有或“全体”之意。
④这样,集合中的元素,就由这性质所决定着:具有该性质的,则就是该集合的元素;不具有该性质的,则不是该集合的元素。
这种表示集合的方法叫做描述法。
如:小于π的正实数组成的集合表示为:{x︱0<x<π}。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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