lsr314 发表于 2018-9-11 09:12
这里a可以约掉了，能找到互素的吗？
这个应该OK了
J. Jandasek
\[ (3n^3+3n^2+2n+1)^3-(3n^2+2n+1)^3-(3n^3+3n^2+2n)^3=n^3 \]
参考：(010: Sum / Sums of Three Cubes, Part 1) https://sites.google.com/site/tpiezas/010 本帖最后由 lsr314 于 2018-9-11 11:34 编辑
葡萄糖 发表于 2018-9-11 11:02
这个应该OK了
J. Jandasek
\[ (3n^3+3n^2+2n+1)^3-(3n^2+2n+1)^3-(3n^3+3n^2+2n)^3=n^3 \]
漂亮，能找到两正一负的吗？顺便你是怎么访问Google的。。 n改成-n就得到:
$n^3+(3n^3−3n^2+2n)^3=(3n^3−3n^2+2n−1)^3+(3n^2−2n+1)^3$ 本帖最后由 王守恩 于 2018-9-12 19:21 编辑
lsr314 发表于 2018-9-11 17:00
n改成-n就得到:
$n^3+(3n^3−3n^2+2n)^3=(3n^3−3n^2+2n−1)^3+(3n^2−2n+1)^3$
谢谢葡萄糖！谢谢lsr314！
我还没有想出比13楼(太好了，爱不释手)更好的公式。
再撩一撩。
若\(k_1,k_2,k_3,n\ \) 均是整数，满足\(\ k_1^4-k_2^4-k_3^4=\pm n^4\)。
我们限制\(\ \vert k_1\vert>\vert k_2\vert>\vert k_3\vert>\vert n\vert \)，且\((k_1,k_2,k_3,n)=1\)。
问：\(n\ \)还可以跑遍除\("0"\)外的所有整数吗？
王守恩 发表于 2018-9-12 17:16
谢谢葡萄糖！谢谢lsr314！
我还没有想出比13楼更好的公式。
再撩一撩。
$59^4+158^4=133^4+134^4$,没有更小的了 人脑能出来吗？
\(\frac{(3a^2+5ab-5b^2)^3+(4a^2-4ab+6b^2)^3+(5 a^2-5ab-3b^2)^3}{(6a^2-4ab+4b^2)^3}\)
\(=\frac{(3a^2+5ab-5b^2)^3+(5 a^2-5ab-3b^2)^3}{(6a^2-4ab+4b^2)^3-(4a^2-4ab+6b^2)^3}\)
\(=\frac{8(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(19a^2-11ab+19b^2)}{8(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(19a^2-11ab+19b^2)}\) lsr314 发表于 2018-9-11 17:00
n改成-n就得到:
$n^3+(3n^3−3n^2+2n)^3=(3n^3−3n^2+2n−1)^3+(3n^2−2n+1)^3$
这边的公式是怎么回事？是因为升级导致的bug吗？ nyy 发表于 2024-6-19 08:12
这边的公式是怎么回事？是因为升级导致的bug吗？
11楼——\(\D n^3=(3n^3+3n^2+2n+1)^3-(3n^3+3n^2+2n)^3-(3n^2+2n+1)^3\)
13楼——\(\D n^3=(3n^3-3n^2+2n-1)^3-(3n^3-3n^2+2n)^3+(3n^2-2n+1)^3\)——n改成-n就得到。
16楼——\(\D(6a^2-4ab+4b^2)^3=(4a^2-4ab+6b^2)^3+(3a^2+5ab-5b^2)^3+(5a^2-5ab-3b^2)^3\) 根据 https://math.stackexchange.com/questions/2976943/where-does-this-identity-come-from-leftx27xy-9y2-right3-left2x2-5xy , 有一个一般化的恒等式: $A^3+B^3+C^3+D^3 = (a^3+b^3+c^3+d^3)(x^2+wy^2)^3$
其中$(A,B,C,D)$定义如下:
\[\begin{align}
A &= ax^2-v_1xy+bwy^2\\
B &= bx^2+v_1xy+awy^2\\
C &= cx^2+v_2xy+dwy^2\\
D &= dx^2-v_2xy+cwy^2
\end{align}
\]
$(v_1,v_2,w)=(c^2-d^2, a^2-b^2, (a+b)(c+d))$ 这个网站给出了$n<1,000,000$所有解
https://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/eslp/tables.htm
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