(k1)^3+(k2)^3+(k3)^3=n^3

葡萄糖

lsr314 发表于 2018-9-11 09:12
这里a可以约掉了，能找到互素的吗？

这个应该OK了
J. Jandasek
\[ (3n^3+3n^2+2n+1)^3-(3n^2+2n+1)^3-(3n^3+3n^2+2n)^3=n^3 \]
参考：[A Collection of Algebraic Identities]  (010: Sum / Sums of Three Cubes, Part 1) https://sites.google.com/site/tpiezas/010

lsr314

葡萄糖 发表于 2018-9-11 11:02
这个应该OK了
J. Jandasek
\[ (3n^3+3n^2+2n+1)^3-(3n^2+2n+1)^3-(3n^3+3n^2+2n)^3=n^3 \]

漂亮，能找到两正一负的吗？顺便你是怎么访问Google的。。

lsr314

n改成-n就得到:
$n^3+(3n^3−3n^2+2n)^3=(3n^3−3n^2+2n−1)^3+(3n^2−2n+1)^3$

王守恩

lsr314 发表于 2018-9-11 17:00
n改成-n就得到:
$n^3+(3n^3−3n^2+2n)^3=(3n^3−3n^2+2n−1)^3+(3n^2−2n+1)^3$

谢谢葡萄糖！谢谢lsr314！
我还没有想出比13楼(太好了，爱不释手)更好的公式。
再撩一撩。
若\(k_1,k_2,k_3,n\ \) 均是整数，满足\(\ k_1^4-k_2^4-k_3^4=\pm n^4\)。
我们限制\(\ \vert k_1\vert>\vert k_2\vert>\vert k_3\vert>\vert n\vert \)，且\((k_1,k_2,k_3,n)=1\)。
问：\(n\ \)还可以跑遍除\("0"\)外的所有整数吗？

lsr314

王守恩 发表于 2018-9-12 17:16
谢谢葡萄糖！谢谢lsr314！
我还没有想出比13楼更好的公式。
再撩一撩。

$59^4+158^4=133^4+134^4$,没有更小的了

王守恩

人脑能出来吗？

\(\frac{(3a^2+5ab-5b^2)^3+(4a^2-4ab+6b^2)^3+(5 a^2-5ab-3b^2)^3}{(6a^2-4ab+4b^2)^3}\)

\(=\frac{(3a^2+5ab-5b^2)^3+(5 a^2-5ab-3b^2)^3}{(6a^2-4ab+4b^2)^3-(4a^2-4ab+6b^2)^3}\)

\(=\frac{8(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(19a^2-11ab+19b^2)}{8(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(19a^2-11ab+19b^2)}\)

nyy

lsr314 发表于 2018-9-11 17:00
n改成-n就得到:
$n^3+(3n^3−3n^2+2n)^3=(3n^3−3n^2+2n−1)^3+(3n^2−2n+1)^3$

这边的公式是怎么回事？是因为升级导致的bug吗？

王守恩

nyy 发表于 2024-6-19 08:12
这边的公式是怎么回事？是因为升级导致的bug吗？

11楼——\(\D n^3=(3n^3+3n^2+2n+1)^3-(3n^3+3n^2+2n)^3-(3n^2+2n+1)^3\)

13楼——\(\D n^3=(3n^3-3n^2+2n-1)^3-(3n^3-3n^2+2n)^3+(3n^2-2n+1)^3\)——n改成-n就得到。

16楼——\(\D(6a^2-4ab+4b^2)^3=(4a^2-4ab+6b^2)^3+(3a^2+5ab-5b^2)^3+(5a^2-5ab-3b^2)^3\)

wayne

根据 https://math.stackexchange.com/q ... -right3-left2x2-5xy , 有一个一般化的恒等式: $A^3+B^3+C^3+D^3 = (a^3+b^3+c^3+d^3)(x^2+wy^2)^3$
其中$(A,B,C,D)$定义如下:
\[\begin{align}
A &= ax^2-v_1xy+bwy^2\\
B &= bx^2+v_1xy+awy^2\\
C &= cx^2+v_2xy+dwy^2\\
D &= dx^2-v_2xy+cwy^2
\end{align}
\]
$(v_1,v_2,w)=(c^2-d^2, a^2-b^2, (a+b)(c+d))$

wayne

这个网站给出了$n<1,000,000$所有解
https://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/eslp/tables.htm