(k1)^3+(k2)^3+(k3)^3=n^3

王守恩

若 \(k_{1},k_{2},k_{3},n\) 均是整数，满足 \(k_{1}^3+k_{2}^3+k_{3}^3=n^3\)。
问：\(n\) 可以是任意整数吗？
题目问得不好，改一下：
问：\(n\) 可以是那些整数？
或者问：\(n\) 不可以是那些整数？

葡萄糖

虽然正整数不可以，但是有理数是OK的
Theorem (Reyley 1825): Every rational number r can be represented as the sum of three rational cubes: r=x³+y³+z³
Every positive rational number u can be represented as the sum of four positive rational cubes: u=a³+b³+c³+d³

王守恩

葡萄糖 发表于 2018-9-3 13:32
虽然正整数不可以，但是有理数是OK的
Theorem (Reyley 1825): Every rational number r can be represente ...

\(-12^3+10^3+9^3=1^3\)
\(18^3-16^3-12^3=2^3\)
\(19^3-18^3-10^3=3^3\)
\(36^3-32^3-24^3=4^3\)
\(45^3-40^3-30^3=5^3\)
\(12^3-10^3-08^3=6^3\)
\(63^3-56^3-42^3=7^3\)
\(72^3-64^3-48^3=8^3\)
\(18^3-15^3-12^3=9^3\)

葡萄糖

王守恩 发表于 2018-9-4 13:14
\(-12^3+10^3+9^3=1^3\)
\(18^3-16^3-12^3=2^3\)
\(19^3-18^3-10^3=3^3\)

噢，这样呀！不限制是正的，也就是说负整数也可以允许
\[(3x^2+5xy-5y^2)^3+(4x^2-4xy+6y^2)^3+(5x^2-5xy-3y^2)^3 = (6x^2-4xy+4y^2)^3\]
\[a^3(a^3+b^3)^3=b^3(a^3+b^3)^3+a^3(a^3-2b^3)^3+b^3(2a^3-b^3)^3\]
\[a^3(a^3+2b^3)^3=a^3(a^3-b^3)^3+b^3(a^3-b^3)^3+b^3(2a^3+b^3)^3\]
Plato's number
Page 9: Ramanujan and 3^3+4^3+5^3 = 6^3
http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation3rdPowers.html

王守恩

葡萄糖 发表于 2018-9-4 23:09
噢，这样呀！不限制是正的，也就是说负整数也可以允许
\[(3x^2+5xy-5y^2)^3+(4x^2-4xy+6y^2)^3+(5x^2- ...

若 \(k_1,k_2,k_3,n\ \)均是整数，满足\( k_1^3+k_2^3+k_3^3=n^3\)。
如果我们限制\(\ \vert k_1\vert >\vert k_2\vert >\vert k_3\vert >n\)，且\((k_1,k_2,k_3,n)=1\)。
问：\(n\)可以跑遍所有正整数吗？譬如：
\((-12)^3+10^3+9^3=1^3\)
\((-16)^3+15^3+9^3=2^3\)
\((+19)^3-18^3-10^3=3^3\)
\((+25)^3-22^3-17^3=4^3\)
\((-20)^3+10^3+19^3=5^3\)
\((+41)^3-33^3-32^3=6^3\)
\((+20)^3-17^3-14^3=7^3\)
\((-31)^3+17^3+29^3=8^3\)
\((-34)^3+33^3+16^3=9^3\)
\((-27)^3+24^3+19^3=10^3\)
\((+29)^3-27^3-15^3=11^3\)
\((-40)^3+33^3+31^3=12^3\)
\((-43)^3+26^3+39^3=13^3\)
\((+71)^3-70^3-23^3=14^3\)
\((+58)^3-49^3-42^3=15^3\)
\((+44)^3-41^3-23^3=16^3\)
\((-39)^3+36^3+26^3=17^3\)
\((+28)^3-21^3-19^3=18^3\)

王守恩

葡萄糖 发表于 2018-9-3 13:32
虽然正整数不可以，但是有理数是OK的
Theorem (Reyley 1825): Every rational number r can be represente ...

  5楼太难了，先撩一撩。\(a\ \)是有理数。

\(\D\left(\frac {a^3-3^6}{3^2a^2+3^4a+3^6}\right)^3+\left(\frac {-a^3+3^5a+3^6}{3^2a^2+3^4a+3^6}\right)^3+\left(\frac {3^3a^2+3^5a}{3^2a^2+3^4a+3^6}\right)^3=a\)

王守恩

王守恩 发表于 2018-9-5 10:33
若 \(k_1,k_2,k_3,n\ \)均是整数，满足\( k_1^3+k_2^3+k_3^3=n^3\)。
如果我们限制\(\ \vert k_1\vert ...

若\(k_1,k_2,k_3,n\ \)均是整数，满足\(k_1^3+k_2^3+k_3^3=n^3\)。
我们限制\(\vert k_1\vert>\vert k_2\vert>\vert k_3\vert>\vert n\vert ，且(k_1,k_2,k_3,n)=1\)。
求证：\(n\)可以跑遍除\( "0"\) 以外的所有整数。譬如：
\((−12)^3+10^3+9^3=1^3\)
\((−16)^3+15^3+9^3=2^3\)
\((+19)^3−18^3−10^3=3^3\)
\((+25)^3−22^3−17^3=4^3\)
\((−76)^3+69^3+48^3=5^3\)
\((+41)^3−33^3−32^3=6^3\)
\((+20)^3−17^3−14^3=7^3\)
\((−53)^3+50^3+29^3=8^3\)
\((−34)^3+33^3+16^3=9^3\)
\((−27)^3+24^3+19^3=10^3\)
\((+29)^3−27^3−15^3=11^3\)
\((−40)^3+33^3+31^3=12^3\)
\((108)^3-104^3-51^3=13^3\)
\((+71)^3−70^3−23^3=14^3\)
\((-58)^3+49^3+42^3=15^3\)
\((+44)^3−41^3−23^3=16^3\)
\((−39)^3+36^3+26^3=17^3\)
\((+28)^3−21^3−19^3=18^3\)
\((+82)^3-69^3-60^3=19^3\)
\((-87)^3+79^3+54^3=20^3\)
\((+88)^3-84^3-43^3=21^3\)
\((+67)^3-54^3-51^3=22^3\)
\((−94)^3+84^3+63^3=23^3\)
\((−98)^3+89^3+63^3=24^3\)
\((+81)^3-74^3-48^3=25^3\)
\((+87)^3-78^3-55^3=26^3\)
\((-46)^3+37^3+30^3=27^3\)
\((+84)^3-75^3-53^3=28^3\)
\((+53)^3-44^3-34^3=29^3\)
\((−67)^3+58^3+51^3=30^3\)
\((+76)^3-72^3-33^3=31^3\)
\((-93)^3+85^3+54^3=32^3\)
\((105)^3-92^3-70^3=33^3\)
\((+72)^3-65^3-39^3=34^3\)
\((−98)^3+92^3+59^3=35^3\)
\((+69)^3-61^3-38^3=36^3\)
\(\cdots\cdots\cdots\)



补充内容 (2018-9-11 08:44):
|k1|，|k2|，|k3|，|n| 表示取绝对值， (k1,k2,k3,n) = 1 表示4个数的最大公约数是 1 。

补充内容 (2018-9-11 11:00):
4个数=2个偶数+2个奇数。就2个数来说：除了公约数2(不包括4)，好像还有其他的公约数(包括4)。

补充内容 (2018-9-12 15:30):
当 k1,k2,k3 一起改变正负号时， n 就变成了负数，即是说 ： n 可以跑遍除  "0"  外的所有整数。

补充内容 (2018-9-12 15:36):
错啦！请删除：“4个数=2个偶数+2个奇数。就2个数来说：除了公约数2(不包括4)，好像还有其他的公约数(包括4)。”     谢谢论坛！谢谢大家！

.·.·.

或许大牛可以参考一下百度百科里面的"15定理"？
感觉很像，一个是二次的，一个是三次的，大概三次的式子也存在类似"15定理"的东西吧

葡萄糖

王守恩 发表于 2018-9-10 13:52
若\(k_1,k_2,k_3,n\ \)均是整数，满足\(k_1^3+k_2^3+k_3^3=n^3\)。
我们限制\(\vert k_1\vert>\vert k_2\vert>\vert k_3\vert>\vert n\vert ，且(k_1,k_2,k_3,n)=1\)。
求证：\(n\)可以跑遍除\( "0"\) 以外的所有整数。譬如：
\((−12)^3+10^3+9^3=1^3\)
\((−16)^3+15^3+9^3=2^3\)
\((+19)^3−18^3−10^3=3^3\)
\((+25)^3−22^3−17^3=4^3\)
\((−76)^3+69^3+48^3=5^3\)

（不互素时）确实可以
利用恒等式
\[\left(9at^4\right)^3+\left(3at-9at^4\right)^3+\left(a-9at^3\right)^3=a^3\]
参考：2012年哈工大出版社出版的柯召《谈谈不定方程》第三章第4节 一些三元三次不定方程 P49
\[(1-9t^3+648t^6+3888 t^9)^3+(-135t^4+3888t^{10})^3+(3t-81t^4-1296t^7-3888t^{10})^3=1\]
http://math.fau.edu/Richman/cubes.htm
http://www.mathpages.com/home/kmath071.htm
https://sites.google.com/site/tpiezas/009
https://mathoverflow.net/questions/138886

lsr314

葡萄糖 发表于 2018-9-10 21:52
确实可以
利用恒等式
\[\left(9at^4\right)^3+\left(3at-9at^4\right)^3+\left(a-9at^3\right)^3=a^3 ...

这里a可以约掉了，能找到互素的吗？