立方体中的最大内接正方形
设d(m,n)表示在单位n维方（n为1、2、3时，分别对应线段、正方形、立方体）中的最大的m维方的大小（这个大小在m为1、2、3时，分别对应长度、面积、体积，并且此处m不大于n）。求d(m,n)。对于一些简单的情况，已知如下结果：
1、d(k,k)=1；
2、d(1,k)=sqrt(k)，均为体对角线的长度；
3、d(2,3)=9/8，d(2,3)表示单位立方体内能够容纳的最大正方形的面积。
大家还能算一些其它的d(m,n)的值么？
补充内容 (2018-9-4 09:53):有难度有深度且有趣的论题
补充m为2时的情况：
4、d(2,2k)=k，当n为偶数时，最大正方形的对角线和n维方的主对角线（体对角线）重合。
5、d(2,2k+1)=k+1/8，当n为奇数时，最大正方形的顶点在某条棱的1/4处。 好啦，来点直观的吧。
为了计算d(3,4)，即在4维超立方中最大的立方体，做了一个平面（也有叫膜的）截取超4维立方，获得3维物体的程序，供大家玩耍，哈哈。
ll := Dot;
cr := Module[{p1 = First, p2 = Last, x},
If, Return],Return];];
dr := Module[{ss, pn, q, x, y, ans, i},
If <= 3, Print["Err Short"]];
ss = {{0, 0, 0}, {0, Sqrt], ps[]]], 0}};
pn = {x, y, 0};q = Map &, ss] == Map], #] &, Take];
AppendTo]];
Do &, ss] == Map], #] &, Take];
ans = Solve; If < 1, Print["Err"];];
AppendTo];
, {i, 0, Length - 4}]; ss];
pcs = (Table, {i, 0, 15}] 2 - 1)/2
pcs // Length
ls = Select, ll, Last[#]] == 1 &];
ls // Lengthll是求两点的距离的平方，cr是求线段l和截面st的交点，dr是将4维空间中的点集ps变换到3维中，pcs是边长为1中心在原点的超立方的16个点，ls是超立方的32条棱。
t = 1/8;
s0 = {1, 1, 1, 1};
s = s0/Apply;
pts = Select &, ls], Head[#] == List &];
pts // Length
pus = Union
pus // Lengtht是截距，s0是调整截面斜率的4个参数，尽情的调整它们吧。pus是被截出来的顶点，pts比pus多出来的是原先属于超立方的顶点。
ss = dr
ss // Length
Graphics3D], Boxed -> False]然后，画出ss就直观啦，可以揪着转啦。
最后，欢迎大家加入d(3,4)的计算。 估算了d(3,4)的数值解，找到了一组解。
在这组解中，单位超立方中嵌入的立方体，其边长l约为1.0074347568842812（其平方是16+16x-7x^2-28x^3+4x^4==0的根），因此，d(3,4)>=1.02247050844335。
计算中假定这个立方体的中心在{0,0,0,0}，其八个顶点中的四个（mm）为{{-1/2,-1/2,y,-z},{-1/2,w,1/2,-x},{1/2,1/2,z,-y},{1/2,-w,x,-1/2}}，另外四个为-mm，其中的{x,y,z,w}分别为{0.212364,0.295098,0.417266,0.46486}，分别是多项式{1-4x-2x^2-8x^3+8x^4,5-20x+52x^2-160x^3+64x^4,-7-4x+52x^2-32x^3+64x^4,-25+20x+36x^2+64x^3+32x^4}的根。其代码如下：
mm = {{-1/2, -1/2, y, -z}, {-1/2, w, 1/2, -x}, {1/2, 1/2, z, -y}, {1/2, -w, x, -1/2}};
t0 = Join].mm[] - 3 l/4, {i, 4}], Table].mm[] - l/4, {i, 3}], {mm[].mm[] - l/4, mm[].mm[] + l/4, mm[].mm[] + l/4}];上面是列式，t0是各个顶点要满足的方程。其中l是边长的平方。
ans = Last];
ans // N求解。
ll := Dot;
m8 = N /. ans];
Outer/(l /. ans) // MatrixForm可以看到各点之间距离的平方满足立方体的结构。
上面mm来自对数值计算结果的观察。
3层的解在2层的截面为t=0，s0={k^2,k,1,1}，其中k=-0.4247278963917897是2+4x-x^2+2x^3+x^4的根。大家可以用下面代码看。
t = 0; s0 = {k^2, k, 1, 1} /. k ->Root;效果大致如：
它能容纳3层那个立方体。
估算了d(3,5)，它比d(3,4)的对称性要强，d(3,5)=34Sqrt-27Sqrt=1.31789。立方体的八个顶点分别为：{{1/2,1/2,-t,-t,1/2},{1/2,-t,1/2,-t,1/2},{-t,-t,1/2,1/2,1/2},{-t,1/2,-t,1/2,1/2},{t,t,-1/2,-1/2,-1/2},{t,-1/2,t,-1/2,-1/2},{-1/2,-1/2,t,t,-1/2},{-1/2,t,-1/2,t,-1/2}}，其中t=(3-Sqrt)/2=0.275255。
大家可以用如下代码验证。
mm={{1/2,1/2,-t,-t,1/2},{1/2,-t,1/2,-t,1/2},{-t,-t,1/2,1/2,1/2},{-t,1/2,-t,1/2,1/2},{t,t,-1/2,-1/2,-1/2},{t,-1/2,t,-1/2,-1/2},{-1/2,-1/2,t,t,-1/2},{-1/2,t,-1/2,t,-1/2}};
ll:=Dot;
cc:=ll]], mm[]]];
Map,{2}]]/.t->(3-Sqrt)/2//Expand//Tally//MatrixForm
这个高维的 有点反直觉．只能代数化了,代数表达感觉都是一种挑战，我尝试一下．
n维方 S的代数表达是$S(x_1,x_2,....,x_n)=0,$, 即$ x_i^2<=1/2,1<=i<=n$，那么，题主的意思是要找到一种表达$f(x_1,x_2,...,x_m)=0$, 通过旋转和平移变换，使得$f(x_1,x_2,...,x_m) = A* S(\alpha*x_1,\alpha*x_2,...,\alpha*x_m)$, 并求出最大的$\alpha$． wayne 发表于 2018-9-25 10:20
这个高维的 有点反直觉．只能代数化了,代数表达感觉都是一种挑战，我尝试一下．
n维方 S的代数表达是$S ...
其实，关于d(3,5)的问题或许可以出两个直观的问题。
Q1
设某个点Pi用5个变量xi1到xi5表示（就是5维空间啦），并且这些x的取值范围是-1/2到1/2（就是点必须在超立方之内啦）。任意两个点Pi和Pj之间的距离为(xi1-xj1)^2+(xi2-xj2)^2+(xi3-xj3)^2+(xi4-xj4)^2+(xi5-xj5)^2再开平方（就是欧几里德距离啦）。现在要求求出8个点P1到P8，使得它们满足：
1、相互之间的距离恰好和某个立方体V八个顶点之间的距离对应一致（就是长度l的12根、根号2l的12根、根号3l的4根啦）；
2、这个立方体V要求体积最大（就是求l的极大值啦），d(3,5)问的就是V的体积。
Q2
求包含着Q1中立方体V的那个多面体（求这个多面体在3维空间中的样子）。 补充5层d(3,5)对应的图如下：
当8个点为：{{-1,-1,-1,1,1,1},{1,-1,-1,-1,1,1},{1,1,1,-1,1,1},{-1,1,1,1,1,1},{-1,-1,-1,1,-1,-1},{1,-1,-1,-1,-1,-1},{1,1,1,-1,-1,-1},{-1,1,1,1,-1,-1}}/2时，d(3,6)=2Sqrt。
然而，d(3,7)貌似也是一样大。 将已估算的d(m,n)罗列如下（不一定对哟）：
d(m,n)m=1m=2m=3m=4m=5m=6
n=11-----
n=21.4142135621----
n=31.7320508081.1251---
n=4221.0224705081--
n=52.2360679772.1251.3178893161-
n=62.44948974332.8284271251
n=72.6457513113.1252.828427125
n=82.82842712543.267669390
n=934.125
n=103.1622776605