立方体中的最大内接正方形

zhouguang

设d(m,n)表示在单位n维方（n为1、2、3时，分别对应线段、正方形、立方体）中的最大的m维方的大小（这个大小在m为1、2、3时，分别对应长度、面积、体积，并且此处m不大于n）。求d(m,n)。
对于一些简单的情况，已知如下结果：
1、d(k,k)=1；
2、d(1,k)=sqrt(k)，均为体对角线的长度；
3、d(2,3)=9/8，d(2,3)表示单位立方体内能够容纳的最大正方形的面积。
大家还能算一些其它的d(m,n)的值么？

补充内容 (2018-9-4 09:53):

补充m为2时的情况：
4、d(2,2k)=k，当n为偶数时，最大正方形的对角线和n维方的主对角线（体对角线）重合。
5、d(2,2k+1)=k+1/8，当n为奇数时，最大正方形的顶点在某条棱的1/4处。

zhouguang

好啦，来点直观的吧。
为了计算d(3,4)，即在4维超立方中最大的立方体，做了一个平面（也有叫膜的）截取超4维立方，获得3维物体的程序，供大家玩耍，哈哈。

1. ll[p1_, p2_] := Dot[p1 - p2, p1 - p2];
   
2. cr[l_, s_, t_] := Module[{p1 = First[l], p2 = Last[l], x},
   
3.    If[s.p1 != s.p2, x = (s.p2 - t)/(s.p2 - s.p1); If[0 <= x <= 1, Return[x p1 + (1 - x) p2], Return[0]],  Return[0]];];
   
4. dr[ps_] := Module[{ss, pn, q, x, y, ans, i},
   
5.    If[Length[ps] <= 3, Print["Err Short"]];
   
6.    ss = {{0, 0, 0}, {0, Sqrt[ll[ps[[1]], ps[[2]]]], 0}};
   
7.    pn = {x, y, 0};  q = Map[ll[pn, #] &, ss] == Map[ll[ps[[3]], #] &, Take[ps, 2]];
   
8.    AppendTo[ss, pn /. Last[Solve[q, {x, y}]]];
   
9.    Do[pn = {x, y, z};   q = Map[ll[pn, #] &, ss] == Map[ll[ps[[i + 4]], #] &, Take[ps, i + 3]];
   
10.     ans = Solve[q, pn]; If[Length[ans] < 1, Print["Err"];];
    
11.     AppendTo[ss, pn /. Last[ans]];
    
12.     , {i, 0, Length[ps] - 4}]; ss];
    
13. pcs = (Table[IntegerDigits[i, 2, 4], {i, 0, 15}] 2 - 1)/2
    
14. pcs // Length
    
15. ls = Select[Subsets[pcs, {2}], ll[First[#], Last[#]] == 1 &];
    
16. ls // Length

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ll是求两点的距离的平方，cr是求线段l和截面st的交点，dr是将4维空间中的点集ps变换到3维中，pcs是边长为1中心在原点的超立方的16个点，ls是超立方的32条棱。

1. t = 1/8;
   
2. s0 = {1, 1, 1, 1};
   
3. s = s0/Apply[Plus, s0];
   
4. pts = Select[Map[cr[#, s, t] &, ls], Head[#] == List &];
   
5. pts // Length
   
6. pus = Union[pts]
   
7. pus // Length

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t是截距，s0是调整截面斜率的4个参数，尽情的调整它们吧。pus是被截出来的顶点，pts比pus多出来的是原先属于超立方的顶点。

1. ss = dr[pus]
   
2. ss // Length
   
3. Graphics3D[Polygon[Subsets[ss, {3}]], Boxed -> False]

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然后，画出ss就直观啦，可以揪着转啦。

最后，欢迎大家加入d(3,4)的计算。

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估算了d(3,4)的数值解，找到了一组解。
在这组解中，单位超立方中嵌入的立方体，其边长l约为1.0074347568842812（其平方是16+16x-7x^2-28x^3+4x^4==0的根），因此，d(3,4)>=1.02247050844335。
计算中假定这个立方体的中心在{0,0,0,0}，其八个顶点中的四个（mm）为{{-1/2,-1/2,y,-z},{-1/2,w,1/2,-x},{1/2,1/2,z,-y},{1/2,-w,x,-1/2}}，另外四个为-mm，其中的{x,y,z,w}分别为{0.212364,0.295098,0.417266,0.46486}，分别是多项式{1-4x-2x^2-8x^3+8x^4,5-20x+52x^2-160x^3+64x^4,-7-4x+52x^2-32x^3+64x^4,-25+20x+36x^2+64x^3+32x^4}的根。其代码如下：

1. mm = {{-1/2, -1/2, y, -z}, {-1/2, w, 1/2, -x}, {1/2, 1/2, z, -y}, {1/2, -w, x, -1/2}};
   
2. t0 = Join[Table[mm[[i]].mm[[i]] - 3 l/4, {i, 4}], Table[mm[[i]].mm[[i + 1]] - l/4, {i, 3}], {mm[[4]].mm[[1]] - l/4, mm[[1]].mm[[3]] + l/4, mm[[2]].mm[[4]] + l/4}];

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上面是列式，t0是各个顶点要满足的方程。其中l是边长的平方。

1. ans = Last[Solve[t0 == 0, {x, y, z, w, l}]];
   
2. ans // N

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求解。

1. ll[p1_, p2_] := Dot[p1 - p2, p1 - p2];
   
2. m8 = N[Join[mm, -mm] /. ans];
   
3. Outer[ll, m8, m8, 1]/(l /. ans) // MatrixForm

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可以看到各点之间距离的平方满足立方体的结构。
上面mm来自对数值计算结果的观察。

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3层的解在2层的截面为t=0，s0={k^2,k,1,1}，其中k=-0.4247278963917897是2+4x-x^2+2x^3+x^4的根。大家可以用下面代码看。

1. t = 0; s0 = {k^2, k, 1, 1} /. k ->Root[2 + 4 #1 - #1^2 + 2 #1^3 + #1^4 &, 2];

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效果大致如：

它能容纳3层那个立方体。

zhouguang

估算了d(3,5)，它比d(3,4)的对称性要强，d(3,5)=34Sqrt[2]-27Sqrt[3]=1.31789。立方体的八个顶点分别为：{{1/2,1/2,-t,-t,1/2},{1/2,-t,1/2,-t,1/2},{-t,-t,1/2,1/2,1/2},{-t,1/2,-t,1/2,1/2},{t,t,-1/2,-1/2,-1/2},{t,-1/2,t,-1/2,-1/2},{-1/2,-1/2,t,t,-1/2},{-1/2,t,-1/2,t,-1/2}}，其中t=(3-Sqrt[6])/2=0.275255。
大家可以用如下代码验证。

1. mm={{1/2,1/2,-t,-t,1/2},{1/2,-t,1/2,-t,1/2},{-t,-t,1/2,1/2,1/2},{-t,1/2,-t,1/2,1/2},{t,t,-1/2,-1/2,-1/2},{t,-1/2,t,-1/2,-1/2},{-1/2,-1/2,t,t,-1/2},{-1/2,t,-1/2,t,-1/2}};
   
2. ll[p1_,p2_]:=Dot[p1-p2,p1-p2];
   
3. cc[p_]:=ll[mm[[First[p]]], mm[[Last[p]]]];
   
4. Map[cc,Subsets[Range[8],{2}]]/.t->(3-Sqrt[6])/2//Expand//Tally//MatrixForm

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wayne

这个高维的　有点反直觉．只能代数化了,代数表达感觉都是一种挑战，我尝试一下．

n维方 S的代数表达是$S(x_1,x_2,....,x_n)=0,$, 即$ x_i^2<=1/2,1<=i<=n$，那么，题主的意思是要找到一种表达$f(x_1,x_2,...,x_m)=0$, 通过旋转和平移变换，使得$f(x_1,x_2,...,x_m) = A* S(\alpha*x_1,\alpha*x_2,...,\alpha*x_m)$, 并求出最大的$\alpha$．

zhouguang

wayne 发表于 2018-9-25 10:20
这个高维的　有点反直觉．只能代数化了,代数表达感觉都是一种挑战，我尝试一下．

n维方 S的代数表达是$S ...

其实，关于d(3,5)的问题或许可以出两个直观的问题。
Q1
设某个点Pi用5个变量xi1到xi5表示（就是5维空间啦），并且这些x的取值范围是-1/2到1/2（就是点必须在超立方之内啦）。任意两个点Pi和Pj之间的距离为(xi1-xj1)^2+(xi2-xj2)^2+(xi3-xj3)^2+(xi4-xj4)^2+(xi5-xj5)^2再开平方（就是欧几里德距离啦）。现在要求求出8个点P1到P8，使得它们满足：
1、相互之间的距离恰好和某个立方体V八个顶点之间的距离对应一致（就是长度l的12根、根号2l的12根、根号3l的4根啦）；
2、这个立方体V要求体积最大（就是求l的极大值啦），d(3,5)问的就是V的体积。
Q2
求包含着Q1中立方体V的那个多面体（求这个多面体在3维空间中的样子）。

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补充5层d(3,5)对应的图如下：

zhouguang

当8个点为：{{-1,-1,-1,1,1,1},{1,-1,-1,-1,1,1},{1,1,1,-1,1,1},{-1,1,1,1,1,1},{-1,-1,-1,1,-1,-1},{1,-1,-1,-1,-1,-1},{1,1,1,-1,-1,-1},{-1,1,1,1,-1,-1}}/2时，d(3,6)=2Sqrt[2]。

然而，d(3,7)貌似也是一样大。

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将已估算的d(m,n)罗列如下（不一定对哟）：

d(m,n)	m=1	m=2	m=3	m=4	m=5	m=6
n=1	1	-	-	-	-	-
n=2	1.414213562	1	-	-	-	-
n=3	1.732050808	1.125	1	-	-	-
n=4	2	2	1.022470508	1	-	-
n=5	2.236067977	2.125	1.317889316		1	-
n=6	2.449489743	3	2.828427125			1
n=7	2.645751311	3.125	2.828427125
n=8	2.828427125	4	3.267669390
n=9	3	4.125
n=10	3.162277660	5