证明1729是最小的拉马努金数
\如何证明呢?我只会穷举法
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
(*产生三列数,第三列是立方和,穷举法*)
aa=Append[#,Total[#^3]]&/@Tuples,2]
(*按照第三列的值分类*)
bb=GatherBy]&]
(*分类后能合并的则合并,1^3+2^3=2^3+1^3属于同一个解答*)
cc=Union@Flatten@#&/@bb
(*选择列数大于3的,大于3肯定含有不同解*)
dd=Select
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
(*装逼写成一行代码*)
Select]&/@Tuples,2],#[]&],Length@#>3&]
求解结果{{1, 9, 10, 12, 1729}, {2, 9, 15, 16, 4104}}
本帖最后由 葡萄糖 于 2018-9-13 18:54 编辑
Hardy-Ramanujan Number
不应该叫的士车数吗？:lol
https://bbs.emath.ac.cn/thread-5351-1-1.html
的士出租车数Cabtaxi number
出租的士车数Taxicab number
广义出租的士车数Generalized taxicab number
更多的立方情况的士车数尽在OEIS A001235：
Taxi-cab numbers: sums of 2 cubes in more than 1 way.
A001235
OEIS给出的一行MMA代码：
Select, Length]>1&]
\[(A^2+7AB-9B^2)^3+(2A^2-4AB+12B^2)^3=(2A^2+10B^2)^3+(A^2-9AB-B^2)^3\]
这个公式来自MathWorld的DiophantineEquation3rdPowers词条
我只会mod
mod7，x^3mod7=0,1,-1
从而拉马努金数mod7需为-2,-1,0,1,2，不可能为3或者4
mod13,x^3mod13=-5,-1,0,1,5，从而拉马努金数mod13为……都有可能
该mod9，发现只能余
合起来，也只能发现mod63的情况……筛选比率差不多是25/63……平均三个能筛出来不到两个……
果然这种方法不靠谱 设 `n=a^3+b^3=c^3+d^3, a,b,c,d>0`.
在整环`Z[ω]`上(`ω`为三次单位根），两边可以分解为\[\begin{equation}(a+b)(a+bω)(a+bω^2)=(c+d)(c+dω)(c+dω^2)\end{equation}
\]由于`a+b≠c+d`, 并且方程组\[\begin{equation}a+b=c^2+d^2-cd\\c+d=a^2+b^2-ab
\end{equation}\]无正整数解，所以左右两边都还可以继续分解，于是`n`至少是三个不同的`6k+1`型自然素数的积，即`n≥7·13·19=1729`.
`(2)`无正整数解的原因
$a+b=c^2+d^2-cd=(c+d-1)+1/2(c-1)^2+1/2(d-1)^2+1/2(c-d)^2≥c+d=a^2+b^2-ab≥a+b$
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