证明1729是最小的拉马努金数

mathematica

\[1729=1^3+12^3=9^3+10^3\]
如何证明呢?我只会穷举法

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. (*产生三列数,第三列是立方和,穷举法*)
   
3. aa=Append[#,Total[#^3]]&/@Tuples[Range[0,20],2]
   
4. (*按照第三列的值分类*)
   
5. bb=GatherBy[aa,#[[3]]&]
   
6. (*分类后能合并的则合并,1^3+2^3=2^3+1^3属于同一个解答*)
   
7. cc=Union@Flatten@#&/@bb
   
8. (*选择列数大于3的,大于3肯定含有不同解*)
   
9. dd=Select[cc,Length@#>3&]
   
10. 
    
11. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
    
12. (*装逼写成一行代码*)
    
13. Select[Union@Flatten@#&/@GatherBy[Append[#,Total[#^3]]&/@Tuples[Range[0,20],2],#[[3]]&],Length@#>3&]
    

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求解结果

1. {{1, 9, 10, 12, 1729}, {2, 9, 15, 16, 4104}}

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葡萄糖

Hardy-Ramanujan Number
不应该叫的士车数吗？
https://bbs.emath.ac.cn/thread-5351-1-1.html
的士出租车数Cabtaxi number
出租的士车数Taxicab number
广义出租的士车数Generalized taxicab number

更多的立方情况的士车数尽在OEIS A001235：
Taxi-cab numbers: sums of 2 cubes in more than 1 way.
A001235
OEIS给出的一行MMA代码：

1. Select[Range[750000], Length[PowersRepresentations[#, 2, 3]]>1&]

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\[(A^2+7AB-9B^2)^3+(2A^2-4AB+12B^2)^3=(2A^2+10B^2)^3+(A^2-9AB-B^2)^3\]
这个公式来自MathWorld的DiophantineEquation3rdPowers词条

.·.·.

我只会mod
mod7，x^3mod7=0,1,-1
从而拉马努金数mod7需为-2,-1,0,1,2，不可能为3或者4
mod13,x^3mod13=-5,-1,0,1,5，从而拉马努金数mod13为……都有可能
该mod9，发现只能余[0, 1, 2, 7, 8]
合起来，也只能发现mod63的情况……筛选比率差不多是25/63……平均三个能筛出来不到两个……
果然这种方法不靠谱

hujunhua

设 `n=a^3+b^3=c^3+d^3, a,b,c,d>0`.

在整环`Z[ω]`上(`ω`为三次单位根），两边可以分解为\[\begin{equation}(a+b)(a+bω)(a+bω^2)=(c+d)(c+dω)(c+dω^2)\end{equation}
\]由于`a+b≠c+d`, 并且方程组\[\begin{equation}a+b=c^2+d^2-cd\\c+d=a^2+b^2-ab
\end{equation}\]无正整数解，所以左右两边都还可以继续分解，于是`n`至少是三个不同的`6k+1`型自然素数的积，即`n≥7·13·19=1729`.

`(2)`无正整数解的原因
$a+b=c^2+d^2-cd=(c+d-1)+1/2(c-1)^2+1/2(d-1)^2+1/2(c-d)^2≥c+d=a^2+b^2-ab≥a+b$