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[原创] 证明1729是最小的拉马努金数

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发表于 2018-9-13 13:27:33 | 显示全部楼层 |阅读模式

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\[1729=1^3+12^3=9^3+10^3\]
如何证明呢?我只会穷举法
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. (*产生三列数,第三列是立方和,穷举法*)
  3. aa=Append[#,Total[#^3]]&/@Tuples[Range[0,20],2]
  4. (*按照第三列的值分类*)
  5. bb=GatherBy[aa,#[[3]]&]
  6. (*分类后能合并的则合并,1^3+2^3=2^3+1^3属于同一个解答*)
  7. cc=Union@Flatten@#&/@bb
  8. (*选择列数大于3的,大于3肯定含有不同解*)
  9. dd=Select[cc,Length@#>3&]

  10. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  11. (*装逼写成一行代码*)
  12. Select[Union@Flatten@#&/@GatherBy[Append[#,Total[#^3]]&/@Tuples[Range[0,20],2],#[[3]]&],Length@#>3&]
复制代码

求解结果
  1. {{1, 9, 10, 12, 1729}, {2, 9, 15, 16, 4104}}
复制代码



毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-13 18:06:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 葡萄糖 于 2018-9-13 18:54 编辑

Hardy-Ramanujan Number
不应该叫的士车数吗?
https://bbs.emath.ac.cn/thread-5351-1-1.html
的士出租车数Cabtaxi number
出租的士车数Taxicab number
广义出租的士车数Generalized taxicab number

更多的立方情况的士车数尽在OEIS A001235:
Taxi-cab numbers: sums of 2 cubes in more than 1 way.
A001235
OEIS给出的一行MMA代码:
  1. Select[Range[750000], Length[PowersRepresentations[#, 2, 3]]>1&]
复制代码

\[(A^2+7AB-9B^2)^3+(2A^2-4AB+12B^2)^3=(2A^2+10B^2)^3+(A^2-9AB-B^2)^3\]
这个公式来自MathWorld的DiophantineEquation3rdPowers词条

点评

葡萄糖作为网络福尔摩斯首屈一指。  发表于 2021-10-13 14:12
不错,学会了一个函数PowersRepresentations  发表于 2018-9-14 14:27
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-14 01:07:14 | 显示全部楼层
我只会mod
mod7,x^3mod7=0,1,-1
从而拉马努金数mod7需为-2,-1,0,1,2,不可能为3或者4
mod13,x^3mod13=-5,-1,0,1,5,从而拉马努金数mod13为……都有可能
该mod9,发现只能余[0, 1, 2, 7, 8]
合起来,也只能发现mod63的情况……筛选比率差不多是25/63……平均三个能筛出来不到两个……
果然这种方法不靠谱
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-10-11 16:45:20 | 显示全部楼层
设 `n=a^3+b^3=c^3+d^3, a,b,c,d>0`.

在整环`Z[ω]`上(`ω`为三次单位根),两边可以分解为\[\begin{equation}(a+b)(a+bω)(a+bω^2)=(c+d)(c+dω)(c+dω^2)\end{equation}
\]由于`a+b≠c+d`, 并且方程组\[\begin{equation}a+b=c^2+d^2-cd\\c+d=a^2+b^2-ab
\end{equation}\]无正整数解,所以左右两边都还可以继续分解,于是`n`至少是三个不同的`6k+1`型自然素数的积,即`n≥7·13·19=1729`.

`(2)`无正整数解的原因
$a+b=c^2+d^2-cd=(c+d-1)+1/2(c-1)^2+1/2(d-1)^2+1/2(c-d)^2≥c+d=a^2+b^2-ab≥a+b$
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