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[讨论] 找数:`n = a^r + b^r = c^r + d^r`

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发表于 2014-2-7 18:02:17 | 显示全部楼层 |阅读模式

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最小的能用两种不同方法表示为两个二次方和的自然数?
\( 65=1^2+8^2=7^2+4^2 \)
最小的能用两种不同方法表示为两个三次方和的自然数?(的士数)
\( 1729=1^3+12^3=9^3+10^3 \)
最小的能用两种不同方法表示为两个四次方和的自然数?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-2-9 15:36:38 | 显示全部楼层
最小的能用两种不同方法表示为两个四次方和的自然数?


应该是: \( 635\,318\,657=59^4+158^4=133^4+134^4 \)
下一个为: \( 3\,262\,811\,042=7^4+239^4=157^4+227^4 \)

我是通过 Excel 算 256 内的自然数获得的。

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用excel怎么搞的?  发表于 2014-7-31 13:48
搜到了:http://oeis.org/A003824,确认上述数据正确!  发表于 2014-2-9 16:29
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发表于 2014-2-9 16:20:52 | 显示全部楼层
下面的 \( 4 \) 阶半幻方(各行各列和为定值,对角线和不为定值)全部由四次方数构成,
\[ \begin{array}{|r|r|r|r|}
\hline 14\,101^4 & 938^4 & 931^4 & 37\,762^4 \\
\hline 35\,866^4 & 20\,881^4 & 21\,038^4 & 13\,393^4 \\
\hline 24\,806^4 & 30\,191^4 & 30\,418^4 & 9\,263^4 \\
\hline 413^4 & 32\,026^4 & 31\,787^4 & 1\,106^4 \\
\hline \end{array} \]
其幻和 \( S=2\,072\,924\,729\,248\,210\,594 \) 为当前已知的最小。

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当前已知的最小是什么意思?  发表于 2018-9-19 16:43
我用mathematica。只会建立一个40000*39999*39998*39997/1/2/3/4=1.066506674e+17的列表然后穷举  发表于 2018-9-19 09:17
这个幻方怎么得到的,这才是重点  发表于 2018-9-19 09:08

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2014-2-9 22:23:16 | 显示全部楼层
对a^5+b^5中a, b <=3000以内的组合未发现能表示成两种方式5次方的和的例子
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发表于 2014-2-9 22:48:29 | 显示全部楼层
能用两种不同方法表示为两个五次方和的自然数——在 \( 2.43 * 10^{37} \) 内不存在!
事实上, \( a^r + b^r = c^r + d^r, \text{for any }r>4 \) 迄今还未找到一例!

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这个问题他也不知道  发表于 2018-9-17 14:20
"事实上,\(a^r + b^r = c^r + d^r, \text{for any }r>4\)迄今还未找到一例!" 这有没有专门的问题?  发表于 2014-2-14 20:49
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发表于 2014-7-30 11:21:41 | 显示全部楼层
gxqcn 发表于 2014-2-9 22:48
能用两种不同方法表示为两个五次方和的自然数——在 \( 2.43 * 10^{37} \) 内不存在!
事实上, \( a^r +  ...

还没见过这种问题的文章。不过有类似的结论:

费马在给梅森的信中还说,形如4n+1的素数和它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和;它的三次方和四次方都能以两种方式表达为两个平方数之和;它的五次方和六次方都能以三种方式表达为两个平方数之和;如此等等,乃至无穷.

他在信中接着说:若等于两个平方数之和的一个素数乘以另一个也是这样的素数,则其乘积将能以两种方式表达为两个平方数之和.若第一个素数乘以第二个素数的平方,则乘积将能以三种方式表达为两个平方数之和;若乘以第二个素数的立方,则乘积将能以四种方式表达为两个平方数之和;如此等等,乃至无穷。

他还指出,一个奇素数能且只能以一种方式表为两个平方数之差.
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发表于 2014-7-31 13:47:43 | 显示全部楼层
建议管理员改下帖子的标题,找数这个标题让人看了完全不知道是啥意思

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因为你提的合理化建议,所以赞一个!  发表于 2014-7-31 16:42
@gxqcn 你赞我干什么?我又不是管理员,又不是我改的标题!  发表于 2014-7-31 15:31

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发表于 2014-7-31 14:02:24 | 显示全部楼层
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发表于 2014-7-31 15:32:31 | 显示全部楼层
还有,如何弄excel弄呢?
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发表于 2014-10-23 23:13:04 | 显示全部楼层
对于四次幂,大家能不能提供更多的资料?
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