找数：`n = a^r + b^r = c^r + d^r`

倪举鹏

感觉像费马定律了，不会a^r + b^r = c^r + d^r   r>=5也没有整数解吧   只是可以肯定a^r + b^r 不是r次方数了

liangbch

让我立即想起那个哈代看望拉玛努金的故事。

282842712474

liangbch 发表于 2014-10-24 13:21
让我立即想起那个哈代看望拉玛努金的故事。

那是三次幂的，呵呵~~

王守恩

282842712474 发表于 2014-10-23 23:13
对于四次幂，大家能不能提供更多的资料？

\(n^4-(n-1)^4=(2n^3-3n^2+2n)^2-(2n^3-3n^2+2n-1)^2\)

mathematica

gxqcn 发表于 2014-2-9 15:36
应该是： \( 635\,318\,657=59^4+158^4=133^4+134^4 \)
下一个为： \( 3\,262\,811\,042=7^4+239^4=15 ...

1. 133        134        635318657        59        158        635318657
   
2. 157        227        3262811042        7        239        3262811042
   
3. 256        257        8657437697        193        292        8657437697
   
4. 266        268        10165098512        118        316        10165098512
   
5. 399        402        51460811217        177        474        51460811217
   
6. 314        454        52204976672        14        478        52204976672
   
7. 298        497        68899596497        271        502        68899596497
   
8. 359        514        86409838577        103        542        86409838577
   
9. 512        514        138519003152        386        584        138519003152
   
10. 503        558        160961094577        222        631        160961094577
    
11. 532        536        162641576192        236        632        162641576192
    
12. 471        681        264287694402        21        717        264287694402
    
13. 665        670        397074160625        295        790        397074160625
    
14. 768        771        701252453457        579        876        701252453457
    
15. 798        804        823372979472        354        948        823372979472
    
16. 628        908        835279626752        28        956        835279626752
    
17. 596        994        1102393543952        542        1004        1102393543952
    
18. 718        1028        1382557417232        206        1084        1382557417232
    
19. 931        938        1525400095457        413        1106        1525400095457
    
20. 785        1135        2039256901250        35        1195        2039256901250
    
21. 653        1176        2094447251857        76        1203        2094447251857
    
22. 1024        1028        2216304050432        772        1168        2216304050432
    
23. 1006        1116        2575377513232        444        1262        2575377513232
    
24. 1064        1072        2602265219072        472        1264        2602265219072
    
25. 1197        1206        4168325708577        531        1422        4168325708577
    
26. 942        1362        4228603110432        42        1434        4228603110432
    
27. 997        1342        4231525221377        878        1381        4231525221377
    
28. 1280        1285        5410898560625        965        1460        5410898560625
    
29. 894        1491        5580867316257        813        1506        5580867316257
    
30. 1330        1340        6353186570000        590        1580        6353186570000
    
31. 1077        1542        6999196924737        309        1626        6999196924737
    
32. 1099        1589        7834009311842        49        1673        7834009311842
    
33. 1463        1474        9301700457137        649        1738        9301700457137
    
34. 1536        1542        11220039255312        1158        1752        11220039255312
    
35. 1509        1674        13037848660737        666        1893        13037848660737
    
36. 1596        1608        13173967671552        708        1896        13173967671552
    
37. 1256        1816        13364474028032        56        1912        13364474028032
    
38. 1192        1988        17638296703232        1084        2008        17638296703232
    
39. 1729        1742        18145336162577        767        2054        18145336162577
    
40. 1792        1799        20786507910497        1351        2044        20786507910497
    
41. 1413        2043        21407303246562        63        2151        21407303246562
    
42. 1436        2056        22120918675712        412        2168        22120918675712
    
43. 1862        1876        24406401527312        826        2212        24406401527312
    
44. 1784        1997        26033514998417        1324        2189        26033514998417
    
45. 1995        2010        32163007010625        885        2370        32163007010625
    
46. 1570        2270        32628110420000        70        2390        32628110420000
    
47. 1306        2352        33511156029712        152        2406        33511156029712
    
48. 2048        2056        35460864806912        1544        2336        35460864806912
    
49. 2026        2141        37860330087137        1042        2461        37860330087137
    
50. 2012        2232        41206040211712        888        2524        41206040211712
    
51. 2128        2144        41636243505152        944        2528        41636243505152
    
52. 1490        2485        43062247810625        1355        2510        43062247810625
    
53. 1727        2497        47770816465922        77        2629        47770816465922
    
54. 2261        2278        53062449551297        1003        2686        53062449551297
    
55. 1795        2570        54006149110625        515        2710        54006149110625
    
56. 2304        2313        56801448730017        1737        2628        56801448730017
    
57. 2131        2524        61206381799697        248        2797        61206381799697
    
58. 2394        2412        66693211337232        1062        2844        66693211337232
    
59. 1884        2724        67657649766912        84        2868        67657649766912
    
60. 1994        2684        67704403542032        1756        2762        67704403542032
    
61. 1797        2854        76773963505537        1034        2949        76773963505537
    
62. 2527        2546        82795362698897        1121        3002        82795362698897
    
63. 2560        2570        86574376970000        1930        2920        86574376970000
    
64. 1788        2982        89293877060112        1626        3012        89293877060112
    
65. 2041        2951        93189146170562        91        3107        93189146170562
    
66. 2515        2790        100600684110625        1110        3155        100600684110625
    
67. 2660        2680        101650985120000        1180        3160        101650985120000
    
68. 2345        2986        109737827061041        1577        3190        109737827061041
    
69. 2154        3084        111987150795792        618        3252        111987150795792
    
70. 2793        2814        123557407732017        1239        3318        123557407732017
    
71. 2198        3178        125344148989472        98        3346        125344148989472
    
72. 2816        2827        126753545321777        2123        3212        126753545321777
    
73. 2926        2948        148827207314192        1298        3476        148827207314192
    
74. 2338        3351        155974778565937        1623        3494        155974778565937
    
75. 2767        3147        156700232476402        661        3537        156700232476402
    
76. 2355        3405        165179809001250        105        3585        165179809001250
    
77. 2086        3479        165427931189297        1897        3514        165427931189297
    
78. 1959        3528        169650227400417        228        3609        169650227400417
    
79. 3059        3082        177788208293537        1357        3634        177788208293537
    
80. 3072        3084        179520628084992        2316        3504        179520628084992
    
81. 2513        3598        207470022423377        721        3794        207470022423377
    
82. 3018        3348        208605578571792        1332        3786        208605578571792
    
83. 3192        3216        210783482744832        1416        3792        210783482744832
    
84. 2512        3632        213831584448512        112        3824        213831584448512
    
85. 3328        3341        247265078064017        2509        3796        247265078064017
    
86. 3325        3350        248171350390625        1475        3950        248171350390625
    
87. 2669        3859        272513241038882        119        4063        272513241038882
    
88. 2384        3976        282212747251712        2168        4016        282212747251712
    
89. 3458        3484        290325378601232        1534        4108        290325378601232
    
90. 3584        3598        332584126567952        2702        4088        332584126567952
    
91. 3591        3618        337634382394737        1593        4266        337634382394737
    
92. 2826        4086        342516851944992        126        4302        342516851944992
    
93. 2991        4026        342753542931537        2634        4143        342753542931537
    
94. 2872        4112        353934698811392        824        4336        353934698811392
    
95. 3521        3906        386467588079377        1554        4417        386467588079377
    
96. 3724        3752        390502424436992        1652        4424        390502424436992
    
97. 3568        3994        416536239974672        2648        4378        416536239974672
    
98. 2983        4313        425212797804482        133        4541        425212797804482
    
99. 3840        3855        438282783410625        2895        4380        438282783410625
    
100. 3857        3886        449348815041617        1711        4582        449348815041617
     
101. 2682        4473        452050252616817        2439        4518        452050252616817
     
102. 3990        4020        514608112170000        1770        4740        514608112170000
     
103. 3140        4540        522049766720000        140        4780        522049766720000
     
104. 2612        4704        536178496475392        304        4812        536178496475392
     
105. 3231        4626        566934950903697        927        4878        566934950903697
     
106. 4096        4112        567373836910592        3088        4672        567373836910592
     
107. 4123        4154        586730121431297        1829        4898        586730121431297
     
108. 4052        4282        605765281394192        2084        4922        605765281394192
     
109. 3966        4397        621194785437217        2694        4883        621194785437217
     
110. 4288        4303        680914892583617        3364        4849        680914892583617
     
111. 4352        4369        723077853891137        3281        4964        723077853891137
     

复制代码

1. (*数表示成两个四次方的和*)
   
2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
3. (*第一列一个数,第二列一个数,第三列四次方的和*)
   
4. aa=Append[#,Total[#^4]]&/@Subsets[Range[0,5000],{2}];
   
5. (*选择四次方和出现次数大于1的有哪些*)
   
6. bb=#[[1]]&/@Select[Tally[#[[3]]&/@aa],#[[2]]>1&];
   
7. (*选择四次方和选出这些数*)
   
8. cc=Sort[Select[aa,MemberQ[bb,#[[3]]]&],#1[[3]]<#2[[3]]&]
   
9. (*根据四次方和来分组*)
   
10. dd=GatherBy[cc,#[[3]]&]
    
11. ee=Flatten[#]&/@dd
    
12. Grid@ee
    

复制代码

以前觉得很难的问题,现在居然超过了gxqcn

mathematica

1. (*数表示成两个5次方的和*)
   
2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
3. (*第一列一个数,第二列一个数,第4列5次方的和*)
   
4. aa=Append[#,Total[#^5]]&/@Subsets[Range[0,200],{3}];
   
5. bb=#[[1]]&/@Select[Tally[#[[4]]&/@aa],#[[2]]>1&];
   
6. cc=Sort[Select[aa,MemberQ[bb,#[[4]]]&],#1[[4]]<#2[[4]]&]
   
7. dd=GatherBy[cc,#[[4]]&]
   
8. ee=Flatten[#]&/@dd
   
9. Grid@ee
   
10. 
    

复制代码

1. 24        28        67        1375298099        3        54        62        1375298099
   
2. 18        44        66        1419138368        13        51        64        1419138368
   
3. 21        43        74        2370099168        8        62        68        2370099168
   
4. 56        67        83        5839897526        53        72        81        5839897526
   
5. 49        75        107        16681039431        39        92        100        16681039431
   
6. 53        90        116        27326512069        26        85        118        27326512069
   
7. 38        47        123        28461637018        1        89        118        28461637018
   
8. 73        96        119        34090335168        68        106        114        34090335168
   
9. 48        56        134        44009539168        6        108        124        44009539168
   
10. 36        88        132        45412427776        26        102        128        45412427776
    
11. 39        56        136        47166830151        3        97        131        47166830151
    
12. 17        95        138        57788232400        13        35        142        57788232400
    
13. 42        86        148        75843173376        16        124        136        75843173376
    
14. 91        94        150        89516861675        28        32        155        89516861675
    
15. 65        94        152        89636142881        42        129        140        89636142881
    
16. 63        67        169        140201053499        9        131        159        140201053499
    
17. 112        134        166        186876720832        106        144        162        186876720832
    
18. 68        137        170        191701358025        36        140        169        191701358025
    
19. 43        109        181        209797492893        13        159        161        209797492893
    
20. 74        113        182        220333644849        61        129        179        220333644849
    
21. 39        142        186        280445841607        28        167        172        280445841607
    
22. 54        132        198        344850623424        39        153        192        344850623424
    
23. 
    

复制代码

\[24^5+28^5+67^5=3^5+54^5+62^5\]
\[18^5+44^5+66^5=13^5+51^5+64^5\]
\[21^5+43^5+74^5=8^5+62^5+68^5\]
\[56^5+67^5+83^5=53^5+72^5+81^5\]
\[49^5+75^5+107^5=39^5+92^5+100^5\]
\[53^5+90^5+116^5=26^5+85^5+118^5\]
\[38^5+47^5+123^5=1^5+89^5+118^5\]
\[73^5+96^5+119^5=68^5+106^5+114^5\]
\[48^5+56^5+134^5=6^5+108^5+124^5\]
\[36^5+88^5+132^5=26^5+102^5+128^5\]
\[39^5+56^5+136^5=3^5+97^5+131^5\]
\[17^5+95^5+138^5=13^5+35^5+142^5\]
\[42^5+86^5+148^5=16^5+124^5+136^5\]
\[91^5+94^5+150^5=28^5+32^5+155^5\]
\[65^5+94^5+152^5=42^5+129^5+140^5\]
\[63^5+67^5+169^5=9^5+131^5+159^5\]
\[112^5+134^5+166^5=106^5+144^5+162^5\]
\[68^5+137^5+170^5=36^5+140^5+169^5\]
\[43^5+109^5+181^5=13^5+159^5+161^5\]
\[74^5+113^5+182^5=61^5+129^5+179^5\]
\[39^5+142^5+186^5=28^5+167^5+172^5\]
\[54^5+132^5+198^5=39^5+153^5+192^5\]

王守恩

282842712474 发表于 2014-10-23 23:13
对于四次幂，大家能不能提供更多的资料？

     还有更好的吗？

     \(\left(4n^4+4n^3+3n^2+2n+1\right)^4+\left(2n^3+n^2+n\right)^4+\left(n^2\right)^4+\left(n^2\right)^4\)
\(=\left(4n^4+4n^3+3n^2+2n\right)^4+\left(4n^3+3n^2+2n+1\right)^4+\left(2n^3+n^2\right)^4+\left(n^2+n\right)^4+\left(2n^2\right)^4\)

王守恩

mathematica 发表于 2018-9-19 10:22
\[24^5+28^5+67^5=3^5+54^5+62^5\]
\[18^5+44^5+66^5=13^5+51^5+64^5\]
\[21^5+43^5+74^5=8^5+62 ...

观察可得：
第4列是最小的；
第1列不一定是第2小的；
第3列不一定是最大的。
mathematica ！
第4列设置成   “0也可以”  岂不更好？
我一直捉摸不透：
第4列能不能跑遍所有正整数？

王守恩

kastin 发表于 2014-7-30 11:21
还没见过这种问题的文章。不过有类似的结论：

费马在给梅森的信中还说，形如4n+1的素数和它的平方都只 ...

\(因式分解公式求证\)。
\((x+a_1)^n-(x-a_2)^n=常数项*f_{(x_1)}*f_{(x_2)}*f_{(x_3)}*f_{(x_4)}*\cdots*f_{(x_k)}\)
\(在这里：n是正整数，x是变数，a_1,a_2是常数，k表示多项式f_{(x_i)}的个数。则有：\)
\(常数项=(a_1+a_2)*n中相同的素因子(含次数)\)。
\(k=n的因子个数-1。例如：\)
\((x+5)^{18}-(x-4)^{18}：常数项=(5+4)*9=81，k=2*3-1=5\)
\((x+6)^{21}-(x-1)^{21}：常数项=(6+1)*7=49，k=3*2-1=3\)
\((x+8)^{45}-(x+5)^{45}：常数项=(8-5)*9=27，k=3*2-1=5\)
\((x+3)^{80}-(x-2)^{80}：常数项=(3+2)*5=25，k=5*2-1=9\)
\((x+9)^{88}-(x+1)^{88}：常数项=(9-1)*8=64，k=4*2-1=7\)
\((x+8)^{90}-(x-7)^{90}：常数项=(8+7)*45=675，k=2*3*2-1=11\)

王守恩

282842712474 发表于 2014-10-23 23:13
对于四次幂，大家能不能提供更多的资料？

求证：\(\sqrt{(3n)^4+(n+2)^5-n^4-(n-2)^5}\ \)是整数。
\(06^4+04^5-02^4-00^5=0048^2\)
\(09^4+05^5-03^4-01^5=0098^2\)
\(12^4+06^5-04^4-02^5=0168^2\)
\(15^4+07^5-05^4-03^5=0258^2\)
\(18^4+08^5-06^4-04^5=0368^2\)
\(21^4+09^5-07^4-05^5=0498^2\)
\(24^4+10^5-08^4-06^5=0648^2\)
\(27^4+11^5-09^4-07^5=0818^2\)
\(30^4+12^5-10^4-08^5=1008^2\)
\(33^4+13^5-11^4-09^5=1218^2\)
\(36^4+14^5-12^4-10^5=1448^2\)
\(39^4+15^5-13^4-11^5=1698^2\)
\(42^4+16^5-14^4-12^5=1968^2\)
\(45^4+17^5-15^4-13^5=2258^2\)
\(48^4+18^5-16^4-14^5=2568^2\)
\(51^4+19^5-17^4-15^5=2898^2\)
\(54^4+20^5-18^4-16^5=3248^2\)
\(57^4+21^5-19^4-17^5=3618^2\)
\(60^4+22^5-20^4-18^5=4008^2\)