数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
楼主: 葡萄糖

[讨论] 找数:`n = a^r + b^r = c^r + d^r`

[复制链接]
发表于 2014-10-24 09:36:54 | 显示全部楼层
感觉像费马定律了,不会a^r + b^r = c^r + d^r   r>=5也没有整数解吧   只是可以肯定a^r + b^r 不是r次方数了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-10-24 13:21:55 | 显示全部楼层
让我立即想起那个哈代看望拉玛努金的故事。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-10-24 14:39:41 | 显示全部楼层
liangbch 发表于 2014-10-24 13:21
让我立即想起那个哈代看望拉玛努金的故事。

那是三次幂的,呵呵~~
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-17 13:03:21 | 显示全部楼层
282842712474 发表于 2014-10-23 23:13
对于四次幂,大家能不能提供更多的资料?

\(n^4-(n-1)^4=(2n^3-3n^2+2n)^2-(2n^3-3n^2+2n-1)^2\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-17 14:16:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2018-9-17 14:21 编辑
gxqcn 发表于 2014-2-9 15:36
应该是: \( 635\,318\,657=59^4+158^4=133^4+134^4 \)
下一个为: \( 3\,262\,811\,042=7^4+239^4=15 ...

  1. 133        134        635318657        59        158        635318657
  2. 157        227        3262811042        7        239        3262811042
  3. 256        257        8657437697        193        292        8657437697
  4. 266        268        10165098512        118        316        10165098512
  5. 399        402        51460811217        177        474        51460811217
  6. 314        454        52204976672        14        478        52204976672
  7. 298        497        68899596497        271        502        68899596497
  8. 359        514        86409838577        103        542        86409838577
  9. 512        514        138519003152        386        584        138519003152
  10. 503        558        160961094577        222        631        160961094577
  11. 532        536        162641576192        236        632        162641576192
  12. 471        681        264287694402        21        717        264287694402
  13. 665        670        397074160625        295        790        397074160625
  14. 768        771        701252453457        579        876        701252453457
  15. 798        804        823372979472        354        948        823372979472
  16. 628        908        835279626752        28        956        835279626752
  17. 596        994        1102393543952        542        1004        1102393543952
  18. 718        1028        1382557417232        206        1084        1382557417232
  19. 931        938        1525400095457        413        1106        1525400095457
  20. 785        1135        2039256901250        35        1195        2039256901250
  21. 653        1176        2094447251857        76        1203        2094447251857
  22. 1024        1028        2216304050432        772        1168        2216304050432
  23. 1006        1116        2575377513232        444        1262        2575377513232
  24. 1064        1072        2602265219072        472        1264        2602265219072
  25. 1197        1206        4168325708577        531        1422        4168325708577
  26. 942        1362        4228603110432        42        1434        4228603110432
  27. 997        1342        4231525221377        878        1381        4231525221377
  28. 1280        1285        5410898560625        965        1460        5410898560625
  29. 894        1491        5580867316257        813        1506        5580867316257
  30. 1330        1340        6353186570000        590        1580        6353186570000
  31. 1077        1542        6999196924737        309        1626        6999196924737
  32. 1099        1589        7834009311842        49        1673        7834009311842
  33. 1463        1474        9301700457137        649        1738        9301700457137
  34. 1536        1542        11220039255312        1158        1752        11220039255312
  35. 1509        1674        13037848660737        666        1893        13037848660737
  36. 1596        1608        13173967671552        708        1896        13173967671552
  37. 1256        1816        13364474028032        56        1912        13364474028032
  38. 1192        1988        17638296703232        1084        2008        17638296703232
  39. 1729        1742        18145336162577        767        2054        18145336162577
  40. 1792        1799        20786507910497        1351        2044        20786507910497
  41. 1413        2043        21407303246562        63        2151        21407303246562
  42. 1436        2056        22120918675712        412        2168        22120918675712
  43. 1862        1876        24406401527312        826        2212        24406401527312
  44. 1784        1997        26033514998417        1324        2189        26033514998417
  45. 1995        2010        32163007010625        885        2370        32163007010625
  46. 1570        2270        32628110420000        70        2390        32628110420000
  47. 1306        2352        33511156029712        152        2406        33511156029712
  48. 2048        2056        35460864806912        1544        2336        35460864806912
  49. 2026        2141        37860330087137        1042        2461        37860330087137
  50. 2012        2232        41206040211712        888        2524        41206040211712
  51. 2128        2144        41636243505152        944        2528        41636243505152
  52. 1490        2485        43062247810625        1355        2510        43062247810625
  53. 1727        2497        47770816465922        77        2629        47770816465922
  54. 2261        2278        53062449551297        1003        2686        53062449551297
  55. 1795        2570        54006149110625        515        2710        54006149110625
  56. 2304        2313        56801448730017        1737        2628        56801448730017
  57. 2131        2524        61206381799697        248        2797        61206381799697
  58. 2394        2412        66693211337232        1062        2844        66693211337232
  59. 1884        2724        67657649766912        84        2868        67657649766912
  60. 1994        2684        67704403542032        1756        2762        67704403542032
  61. 1797        2854        76773963505537        1034        2949        76773963505537
  62. 2527        2546        82795362698897        1121        3002        82795362698897
  63. 2560        2570        86574376970000        1930        2920        86574376970000
  64. 1788        2982        89293877060112        1626        3012        89293877060112
  65. 2041        2951        93189146170562        91        3107        93189146170562
  66. 2515        2790        100600684110625        1110        3155        100600684110625
  67. 2660        2680        101650985120000        1180        3160        101650985120000
  68. 2345        2986        109737827061041        1577        3190        109737827061041
  69. 2154        3084        111987150795792        618        3252        111987150795792
  70. 2793        2814        123557407732017        1239        3318        123557407732017
  71. 2198        3178        125344148989472        98        3346        125344148989472
  72. 2816        2827        126753545321777        2123        3212        126753545321777
  73. 2926        2948        148827207314192        1298        3476        148827207314192
  74. 2338        3351        155974778565937        1623        3494        155974778565937
  75. 2767        3147        156700232476402        661        3537        156700232476402
  76. 2355        3405        165179809001250        105        3585        165179809001250
  77. 2086        3479        165427931189297        1897        3514        165427931189297
  78. 1959        3528        169650227400417        228        3609        169650227400417
  79. 3059        3082        177788208293537        1357        3634        177788208293537
  80. 3072        3084        179520628084992        2316        3504        179520628084992
  81. 2513        3598        207470022423377        721        3794        207470022423377
  82. 3018        3348        208605578571792        1332        3786        208605578571792
  83. 3192        3216        210783482744832        1416        3792        210783482744832
  84. 2512        3632        213831584448512        112        3824        213831584448512
  85. 3328        3341        247265078064017        2509        3796        247265078064017
  86. 3325        3350        248171350390625        1475        3950        248171350390625
  87. 2669        3859        272513241038882        119        4063        272513241038882
  88. 2384        3976        282212747251712        2168        4016        282212747251712
  89. 3458        3484        290325378601232        1534        4108        290325378601232
  90. 3584        3598        332584126567952        2702        4088        332584126567952
  91. 3591        3618        337634382394737        1593        4266        337634382394737
  92. 2826        4086        342516851944992        126        4302        342516851944992
  93. 2991        4026        342753542931537        2634        4143        342753542931537
  94. 2872        4112        353934698811392        824        4336        353934698811392
  95. 3521        3906        386467588079377        1554        4417        386467588079377
  96. 3724        3752        390502424436992        1652        4424        390502424436992
  97. 3568        3994        416536239974672        2648        4378        416536239974672
  98. 2983        4313        425212797804482        133        4541        425212797804482
  99. 3840        3855        438282783410625        2895        4380        438282783410625
  100. 3857        3886        449348815041617        1711        4582        449348815041617
  101. 2682        4473        452050252616817        2439        4518        452050252616817
  102. 3990        4020        514608112170000        1770        4740        514608112170000
  103. 3140        4540        522049766720000        140        4780        522049766720000
  104. 2612        4704        536178496475392        304        4812        536178496475392
  105. 3231        4626        566934950903697        927        4878        566934950903697
  106. 4096        4112        567373836910592        3088        4672        567373836910592
  107. 4123        4154        586730121431297        1829        4898        586730121431297
  108. 4052        4282        605765281394192        2084        4922        605765281394192
  109. 3966        4397        621194785437217        2694        4883        621194785437217
  110. 4288        4303        680914892583617        3364        4849        680914892583617
  111. 4352        4369        723077853891137        3281        4964        723077853891137
复制代码
  1. (*数表示成两个四次方的和*)
  2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  3. (*第一列一个数,第二列一个数,第三列四次方的和*)
  4. aa=Append[#,Total[#^4]]&/@Subsets[Range[0,5000],{2}];
  5. (*选择四次方和出现次数大于1的有哪些*)
  6. bb=#[[1]]&/@Select[Tally[#[[3]]&/@aa],#[[2]]>1&];
  7. (*选择四次方和选出这些数*)
  8. cc=Sort[Select[aa,MemberQ[bb,#[[3]]]&],#1[[3]]<#2[[3]]&]
  9. (*根据四次方和来分组*)
  10. dd=GatherBy[cc,#[[3]]&]
  11. ee=Flatten[#]&/@dd
  12. Grid@ee
复制代码


以前觉得很难的问题,现在居然超过了gxqcn

点评

恭喜mathematica!5次方的能来一个?2+2来不了,3+3也行。  发表于 2018-9-17 20:52
恭喜mathematica!  发表于 2018-9-17 17:30
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-19 10:22:43 | 显示全部楼层
  1. (*数表示成两个5次方的和*)
  2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  3. (*第一列一个数,第二列一个数,第4列5次方的和*)
  4. aa=Append[#,Total[#^5]]&/@Subsets[Range[0,200],{3}];
  5. bb=#[[1]]&/@Select[Tally[#[[4]]&/@aa],#[[2]]>1&];
  6. cc=Sort[Select[aa,MemberQ[bb,#[[4]]]&],#1[[4]]<#2[[4]]&]
  7. dd=GatherBy[cc,#[[4]]&]
  8. ee=Flatten[#]&/@dd
  9. Grid@ee

复制代码

  1. 24        28        67        1375298099        3        54        62        1375298099
  2. 18        44        66        1419138368        13        51        64        1419138368
  3. 21        43        74        2370099168        8        62        68        2370099168
  4. 56        67        83        5839897526        53        72        81        5839897526
  5. 49        75        107        16681039431        39        92        100        16681039431
  6. 53        90        116        27326512069        26        85        118        27326512069
  7. 38        47        123        28461637018        1        89        118        28461637018
  8. 73        96        119        34090335168        68        106        114        34090335168
  9. 48        56        134        44009539168        6        108        124        44009539168
  10. 36        88        132        45412427776        26        102        128        45412427776
  11. 39        56        136        47166830151        3        97        131        47166830151
  12. 17        95        138        57788232400        13        35        142        57788232400
  13. 42        86        148        75843173376        16        124        136        75843173376
  14. 91        94        150        89516861675        28        32        155        89516861675
  15. 65        94        152        89636142881        42        129        140        89636142881
  16. 63        67        169        140201053499        9        131        159        140201053499
  17. 112        134        166        186876720832        106        144        162        186876720832
  18. 68        137        170        191701358025        36        140        169        191701358025
  19. 43        109        181        209797492893        13        159        161        209797492893
  20. 74        113        182        220333644849        61        129        179        220333644849
  21. 39        142        186        280445841607        28        167        172        280445841607
  22. 54        132        198        344850623424        39        153        192        344850623424

复制代码

\[24^5+28^5+67^5=3^5+54^5+62^5\]
\[18^5+44^5+66^5=13^5+51^5+64^5\]
\[21^5+43^5+74^5=8^5+62^5+68^5\]
\[56^5+67^5+83^5=53^5+72^5+81^5\]
\[49^5+75^5+107^5=39^5+92^5+100^5\]
\[53^5+90^5+116^5=26^5+85^5+118^5\]
\[38^5+47^5+123^5=1^5+89^5+118^5\]
\[73^5+96^5+119^5=68^5+106^5+114^5\]
\[48^5+56^5+134^5=6^5+108^5+124^5\]
\[36^5+88^5+132^5=26^5+102^5+128^5\]
\[39^5+56^5+136^5=3^5+97^5+131^5\]
\[17^5+95^5+138^5=13^5+35^5+142^5\]
\[42^5+86^5+148^5=16^5+124^5+136^5\]
\[91^5+94^5+150^5=28^5+32^5+155^5\]
\[65^5+94^5+152^5=42^5+129^5+140^5\]
\[63^5+67^5+169^5=9^5+131^5+159^5\]
\[112^5+134^5+166^5=106^5+144^5+162^5\]
\[68^5+137^5+170^5=36^5+140^5+169^5\]
\[43^5+109^5+181^5=13^5+159^5+161^5\]
\[74^5+113^5+182^5=61^5+129^5+179^5\]
\[39^5+142^5+186^5=28^5+167^5+172^5\]
\[54^5+132^5+198^5=39^5+153^5+192^5\]

点评

谢谢mathematica!找了一个:144^5=27^5+84^5+110^5+133^5  发表于 2018-9-21 09:38
大开眼界!恭喜mathematica!3+2的可以有吗?谢谢mathematica!  发表于 2018-9-19 11:19
好!好!!好!!!我这《学生用计算器》怎么也出不来。谢谢mathematica!  发表于 2018-9-19 10:28
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-19 10:48:10 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-9-19 18:54 编辑
282842712474 发表于 2014-10-23 23:13
对于四次幂,大家能不能提供更多的资料?


     还有更好的吗?

     \(\left(4n^4+4n^3+3n^2+2n+1\right)^4+\left(2n^3+n^2+n\right)^4+\left(n^2\right)^4+\left(n^2\right)^4\)
\(=\left(4n^4+4n^3+3n^2+2n\right)^4+\left(4n^3+3n^2+2n+1\right)^4+\left(2n^3+n^2\right)^4+\left(n^2+n\right)^4+\left(2n^2\right)^4\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-20 10:42:47 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2018-9-19 10:22
\[24^5+28^5+67^5=3^5+54^5+62^5\]
\[18^5+44^5+66^5=13^5+51^5+64^5\]
\[21^5+43^5+74^5=8^5+62 ...

观察可得:
第4列是最小的;
第1列不一定是第2小的;
第3列不一定是最大的。
mathematica !
第4列设置成   “0也可以”  岂不更好?
我一直捉摸不透:
第4列能不能跑遍所有正整数?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-20 12:51:00 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2014-7-30 11:21
还没见过这种问题的文章。不过有类似的结论:

费马在给梅森的信中还说,形如4n+1的素数和它的平方都只 ...

\(因式分解公式求证\)。
\((x+a_1)^n-(x-a_2)^n=常数项*f_{(x_1)}*f_{(x_2)}*f_{(x_3)}*f_{(x_4)}*\cdots*f_{(x_k)}\)
\(在这里:n是正整数,x是变数,a_1,a_2是常数,k表示多项式f_{(x_i)}的个数。则有:\)
\(常数项=(a_1+a_2)*n中相同的素因子(含次数)\)。
\(k=n的因子个数-1。例如:\)
\((x+5)^{18}-(x-4)^{18}:常数项=(5+4)*9=81,k=2*3-1=5\)
\((x+6)^{21}-(x-1)^{21}:常数项=(6+1)*7=49,k=3*2-1=3\)
\((x+8)^{45}-(x+5)^{45}:常数项=(8-5)*9=27,k=3*2-1=5\)
\((x+3)^{80}-(x-2)^{80}:常数项=(3+2)*5=25,k=5*2-1=9\)
\((x+9)^{88}-(x+1)^{88}:常数项=(9-1)*8=64,k=4*2-1=7\)
\((x+8)^{90}-(x-7)^{90}:常数项=(8+7)*45=675,k=2*3*2-1=11\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-20 16:10:51 | 显示全部楼层
282842712474 发表于 2014-10-23 23:13
对于四次幂,大家能不能提供更多的资料?

求证:\(\sqrt{(3n)^4+(n+2)^5-n^4-(n-2)^5}\ \)是整数。
\(06^4+04^5-02^4-00^5=0048^2\)
\(09^4+05^5-03^4-01^5=0098^2\)
\(12^4+06^5-04^4-02^5=0168^2\)
\(15^4+07^5-05^4-03^5=0258^2\)
\(18^4+08^5-06^4-04^5=0368^2\)
\(21^4+09^5-07^4-05^5=0498^2\)
\(24^4+10^5-08^4-06^5=0648^2\)
\(27^4+11^5-09^4-07^5=0818^2\)
\(30^4+12^5-10^4-08^5=1008^2\)
\(33^4+13^5-11^4-09^5=1218^2\)
\(36^4+14^5-12^4-10^5=1448^2\)
\(39^4+15^5-13^4-11^5=1698^2\)
\(42^4+16^5-14^4-12^5=1968^2\)
\(45^4+17^5-15^4-13^5=2258^2\)
\(48^4+18^5-16^4-14^5=2568^2\)
\(51^4+19^5-17^4-15^5=2898^2\)
\(54^4+20^5-18^4-16^5=3248^2\)
\(57^4+21^5-19^4-17^5=3618^2\)
\(60^4+22^5-20^4-18^5=4008^2\)

点评

\(\sqrt{(3n)^4+(n+2)^5-n^4-(n-2)^5}=10n^2+8\),还局限于初中生的知识,有什么意思?!  发表于 2018-9-30 08:12
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2019-9-15 18:10 , Processed in 0.068442 second(s), 20 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表