代数数、三角函数以及 \(\pi\) 的几个猜想
猜想1、设\(x\)是代数数，\(\tan (\pix)\)是代数数。猜想2、设\(x\)是代数数，\(\pi\tan (x)\)是代数数。
猜想3、设\(x\)是代数数，\(\frac{\tan ^{-1}(x)}{\pi }\)是代数数。
猜想4、设\(x\)是代数数，\(\tan ^{-1}\left(\frac{x}{\pi }\right)\)是代数数。 1,3显然正确，2，4显然错误 mathe 发表于 2018-12-6 13:50
1,3显然正确，2，4显然错误
是否存在某个常数\(\rho\)，猜想2与猜想4把\(\pi\)置换为\(\rho\)之后能成立？ 如果猜想1正确，那么 $\tan(\sqrt 2\pi)$ 是哪个整系数代数方程的根？ 第一个应该是x是有理数才行 tan(pi x)在x是非有理代数数时是超越数
这个问题本质上和exp(i pi x)的超越性等价，而后者可以写成exp(i pi/n)^(nx).根据希尔伯特第七问题结论是一个超越数
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Gelfond%E2%80%93Schneider_theorem
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