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[讨论] 代数数、三角函数以及 \(\pi\) 的几个猜想

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发表于 5 天前 | 显示全部楼层 |阅读模式

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猜想1、设\(x\)是代数数,\(\tan (\pi  x)\)是代数数。
猜想2、设\(x\)是代数数,\(\pi  \tan (x)\)是代数数。
猜想3、设\(x\)是代数数,\(\frac{\tan ^{-1}(x)}{\pi }\)是代数数。
猜想4、设\(x\)是代数数,\(\tan ^{-1}\left(\frac{x}{\pi }\right)\)是代数数。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 5 天前 | 显示全部楼层
1,3显然正确,2,4显然错误
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 楼主| 发表于 5 天前 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-12-6 13:50
1,3显然正确,2,4显然错误


是否存在某个常数\(\rho\),猜想2与猜想4把\(\pi\)置换为\(\rho\)之后能成立?

点评

明显\(x\)是有理数,\(\frac{\tan (x)}{\tan (1)}\)是代数数。  发表于 5 天前
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发表于 5 天前 | 显示全部楼层
如果猜想1正确,那么 $\tan(\sqrt 2\pi)$ 是哪个整系数代数方程的根?
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发表于 5 天前 来自手机 | 显示全部楼层
第一个应该是x是有理数才行
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发表于 5 天前 来自手机 | 显示全部楼层
tan(pi x)在x是非有理代数数时是超越数
这个问题本质上和exp(i pi x)的超越性等价,而后者可以写成exp(i pi/n)^(nx).根据希尔伯特第七问题结论是一个超越数
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Gelfond%E2%80%93Schneider_theorem

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