一个整数的欧拉函数与其自身之比有没有下界
在1到n中, 与整数n互质的整数的个数用欧拉函数来形容,那么phi(n)与n的比值,是否有下界呢?
我只知道0肯定是下界,但是有没有比0还大的下界呢?
计算前100万个整数的欧拉函数与自身的比值,然后从小到大排序
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
aa=Sort[{EulerPhi[#]/#,#}&/@Range,#1[]<#2[]&];;
bb=aa[]
取前四个结果
{{3072/17017, 510510}, {3456/19019, 570570}, {384/2093, 690690}, {768/
4147, 870870}}
分解质因数得到
FactorInteger@{510510, 570570, 690690, 870870}
{{{2, 1}, {3, 1}, {5, 1}, {7, 1}, {11, 1}, {13, 1}, {17, 1}}, {{2,
1}, {3, 1}, {5, 1}, {7, 1}, {11, 1}, {13, 1}, {19, 1}}, {{2,
1}, {3, 1}, {5, 1}, {7, 1}, {11, 1}, {13, 1}, {23, 1}}, {{2,
1}, {3, 1}, {5, 1}, {7, 1}, {11, 1}, {13, 1}, {29, 1}}}
我猜测,是连续素数的乘积时,这种情况下比值最小
应该是n充分大的情况下是连续素数乘积时,
这种情况比值最小了,
但是有没有比0更大的下界呢?
或者说
(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7)是否有比零大的下界呢? 下界就是0，在整数为前n个素数乘积时比例最小，这个比例可以趋向0.
这是因为$\prod_{所有素数p} (1-1/p)$为0 mathe 发表于 2019-3-15 16:19
下界就是0，在整数为前n个素数乘积时比例最小，这个比例可以趋向0.
这是因为$\prod_{所有素数p} (1-1/p)$ ...
你是取对数,然后因为素数的倒数和无穷大,所以下界是零? mathe 发表于 2019-3-15 16:19
下界就是0，在整数为前n个素数乘积时比例最小，这个比例可以趋向0.
这是因为$\prod_{所有素数p} (1-1/p)$ ...
还是有下界的,只不过是变量下界,但是比常数0强一万倍
$\phi(n)>\frac{n}{e^{\gamma } \log (\log (n))+\frac{3}{\log (\log (n))}},n>2$
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function 这个我们通常不称之为下界，0已经是下确界了。这个应该说是渐进式更合适
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