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[求助] 一个整数的欧拉函数与其自身之比有没有下界

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发表于 2019-3-15 16:11:46 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
在1到n中, 与整数n互质的整数的个数用欧拉函数来形容,那么
phi(n)与n的比值,是否有下界呢?
我只知道0肯定是下界,但是有没有比0还大的下界呢?

计算前100万个整数的欧拉函数与自身的比值,然后从小到大排序
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. aa=Sort[{EulerPhi[#]/#,#}&/@Range[10^6],#1[[1]]<#2[[1]]&];;
  3. bb=aa[[1;;4]]
复制代码

取前四个结果
{{3072/17017, 510510}, {3456/19019, 570570}, {384/2093, 690690}, {768/
  4147, 870870}}
分解质因数得到
FactorInteger@{510510, 570570, 690690, 870870}
{{{2, 1}, {3, 1}, {5, 1}, {7, 1}, {11, 1}, {13, 1}, {17, 1}}, {{2,
   1}, {3, 1}, {5, 1}, {7, 1}, {11, 1}, {13, 1}, {19, 1}}, {{2,
   1}, {3, 1}, {5, 1}, {7, 1}, {11, 1}, {13, 1}, {23, 1}}, {{2,
   1}, {3, 1}, {5, 1}, {7, 1}, {11, 1}, {13, 1}, {29, 1}}}
我猜测,是连续素数的乘积时,这种情况下比值最小





毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-3-15 16:19:09 | 显示全部楼层
应该是n充分大的情况下是连续素数乘积时,
这种情况比值最小了,
但是有没有比0更大的下界呢?
或者说
(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7)是否有比零大的下界呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-15 16:19:52 | 显示全部楼层
下界就是0,在整数为前n个素数乘积时比例最小,这个比例可以趋向0.
这是因为$\prod_{所有素数p} (1-1/p)$为0
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 楼主| 发表于 2019-3-15 16:23:50 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2019-3-15 16:19
下界就是0,在整数为前n个素数乘积时比例最小,这个比例可以趋向0.
这是因为$\prod_{所有素数p} (1-1/p)$ ...


你是取对数,然后因为素数的倒数和无穷大,所以下界是零?

点评

这个可以有多种不同的理解,取对数是一种方法,复变函数里面对无穷乘积是有这种判断方法的。 这个也可以看成黎曼zeta函数在x=1时的倒数  发表于 2019-3-15 16:28
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 楼主| 发表于 2019-3-16 08:29:16 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2019-3-15 16:19
下界就是0,在整数为前n个素数乘积时比例最小,这个比例可以趋向0.
这是因为$\prod_{所有素数p} (1-1/p)$ ...


还是有下界的,只不过是变量下界,但是比常数0强一万倍

$\phi(n)>\frac{n}{e^{\gamma } \log (\log (n))+\frac{3}{\log (\log (n))}},n>2$


https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function
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发表于 2019-3-16 10:13:54 来自手机 | 显示全部楼层
这个我们通常不称之为下界,0已经是下确界了。这个应该说是渐进式更合适
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