二次积分号的交换问题
本帖最后由 Thornton 于 2009-7-10 20:54 编辑函数f(x,y)是在x属于，y属于上的有界函数
int_a^bf(x,y)dx对于y是存在的
int_c^df(x,y)dy对于x是存在（这两个都是定积分，我手滑没有写上上下限）
而且int_a^bdxint_c^df(x,y)dy是存在的，
求证，交换积分次序的另外一个积分也是存在的而且和原次序相等 这个也需要证明？ 这个太基本了,证明过程同使用的具体教材有关系.主要问题在于哪些定理可以使用.
我们也可以直接用积分的定义来证明.
比如将矩形X直接划分成m*n个小矩形,然后每个小矩形中任取一个点取函数值,然后对所有这些值关于矩形面积加权求和,证明这个和在小矩形边长趋向无穷时收敛.
而这时如果我们在矩形划分过程中,先让x方向边长趋向0,再让y方向变成趋向0,就等于第一种积分顺序;而反过来就是第二种顺序,它们都等于上面的极限 3# mathe
你们没有学过数学分析吗？题目中只有给出了函数是有界，你的这种方法是在函数连续的情况下才成立的 2# shshsh_0510
你难道没有学过数学分析吗？这个是有界函数，如果是连续的话，那两个条件根本用不用 楼主，讨论问题请尽量不要用反问句，
心平气和，营造一个好的交流氛围。 郭大侠的确有大家风范哟。。。。
支持！！
对于有争论的问题，尤其是概念，需要科学对待，冷静思考，严格论证。。。 2# shshsh_0510
你难道没有学过数学分析吗？这个是有界函数，如果是连续的话，那两个条件根本用不用
Thornton 发表于 2009-7-11 15:41 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
楼主不要生气。
首先，我是真的没学过分析:lol
由于没学过，所以觉得这个应该很直观，不需要证明。
经过楼主指点，才知道也许在非连续时可能有各种我想不到的情况出现。
不过那又如何呢，我还是觉得这个没啥值得证明的，因为意义很直观 我的确没有注意题目中有有解的条件,抱歉了.
不过LZ也没有这么生气,没有人会因此轻视你.毕竟,知道积分不一定可以交换的人已经很少了:)
我不知道LZ是否已经学过勒贝格测度,也许这个题目用勒贝格测度来证明应该会容易一些.我觉得在勒贝格测度意义下面,对应的二重积分应该是可积的. 我学过数学分析，可是大部分都忘光了，汗颜……
有空得好好补习下
直觉上感觉可以从积分定义入手操作^^
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