二次积分号的交换问题

Thornton · 发表于 2009-7-10 20:48:25

马上注册，结交更多好友，享用更多功能，让你轻松玩转社区。

您需要登录才可以下载或查看，没有账号？欢迎注册

×

本帖最后由 Thornton 于 2009-7-10 20:54 编辑 函数f(x,y)是在x属于[a b]，y属于[c d]上的有界函数 $int_a^bf(x,y)dx$对于y是存在的 $int_c^df(x,y)dy$对于x是存在（这两个都是定积分，我手滑没有写上上下限）而且$int_a^bdxint_c^df(x,y)dy$是存在的，求证，交换积分次序的另外一个积分也是存在的而且和原次序相等

shshsh_0510 · 发表于 2009-7-10 22:43:35

这个也需要证明？

mathe · 发表于 2009-7-11 14:51:14

这个太基本了,证明过程同使用的具体教材有关系.主要问题在于哪些定理可以使用. 我们也可以直接用积分的定义来证明. 比如将矩形[a,b]X[c,d]直接划分成m*n个小矩形,然后每个小矩形中任取一个点取函数值,然后对所有这些值关于矩形面积加权求和,证明这个和在小矩形边长趋向无穷时收敛. 而这时如果我们在矩形划分过程中,先让x方向边长趋向0,再让y方向变成趋向0,就等于第一种积分顺序;而反过来就是第二种顺序,它们都等于上面的极限

Thornton · 发表于 2009-7-11 15:40:22

3# mathe 你们没有学过数学分析吗？题目中只有给出了函数是有界，你的这种方法是在函数连续的情况下才成立的

Thornton · 发表于 2009-7-11 15:41:54

2# shshsh_0510 你难道没有学过数学分析吗？这个是有界函数，如果是连续的话，那两个条件根本用不用

gxqcn · 发表于 2009-7-11 20:16:42

楼主，讨论问题请尽量不要用反问句，心平气和，营造一个好的交流氛围。

数学星空 · 发表于 2009-7-11 20:37:23

郭大侠的确有大家风范哟。。。。支持！！对于有争论的问题，尤其是概念，需要科学对待，冷静思考，严格论证。。。

shshsh_0510 · 发表于 2009-7-12 10:22:41

2# shshsh_0510 你难道没有学过数学分析吗？这个是有界函数，如果是连续的话，那两个条件根本用不用 Thornton 发表于 2009-7-11 15:41

楼主不要生气。首先，我是真的没学过分析

由于没学过，所以觉得这个应该很直观，不需要证明。经过楼主指点，才知道也许在非连续时可能有各种我想不到的情况出现。不过那又如何呢，我还是觉得这个没啥值得证明的，因为意义很直观

mathe · 发表于 2009-7-18 11:05:08

我的确没有注意题目中有有解的条件,抱歉了. 不过LZ也没有这么生气,没有人会因此轻视你.毕竟,知道积分不一定可以交换的人已经很少了

我不知道LZ是否已经学过勒贝格测度,也许这个题目用勒贝格测度来证明应该会容易一些.我觉得在勒贝格测度意义下面,对应的二重积分应该是可积的.

nlrte13 · 发表于 2009-7-21 17:24:55

我学过数学分析，可是大部分都忘光了，汗颜…… 有空得好好补习下直觉上感觉可以从积分定义入手操作^^

账号		自动登录	找回密码
密码			欢迎注册

[提问] 二次积分号的交换问题

马上注册，结交更多好友，享用更多功能，让你轻松玩转社区。