所谓可移，就是各副对角面上的九个数之和也是126，即左面可以移到右面之右（右到左也行，下同），上面可以移到下面之下，前面可以移到后面之后。
对于三阶而言，可移性就是三个平行面可以任意排列。
可移性使得无中心，或者说任何数都可在中心。所以所谓 8≤中心数≤20是不正确的。
可以证明，可移性等价于每行（X轴向）、每列（Y轴向）、每直（Z轴向）的三个数字之和等于42.
把幻方的数字都减去14，变成-13~13，然后转换成三位对称三进数（用 i 表示 -1），得到右图的三位对称三进数幻方，它是零和幻方。
可移三维三阶幻方 （三位对称三进数零和幻方）
化为零和的三位对称三进数幻方后，可以清晰地看到幻方的特性：X、Y、Z三轴方向的三个数字之和等于0，并且相加时不需要进位，因为三个数的相同位上合起来刚好都是 1, 0, i 三个数码。
也就是说，它是一个三维正交拉丁方。 由于限定不足解太多，我们可以考虑更多限制，如上面hujunhua的例子，满足所有和坐标轴平行直线上三格数据和为42以及所有过中心三格数据和为42。首先容易得出此时中心必然为14。
于是设第一个面数据为
a,b,42-a-b
c,d,42-c-d
42-a-c,42-b-d,a+b+c+d-42
于是可以得出最下面一个面为
70-a-b-c-d,b+d-14,a+c-14
c+d-14,28-d,28-c
a+b-14,28-b,28-a
于是可以得出中间的面
b+c+d-28,56-2b-d,14+b-c
56-d-2c,14,2c+d-28
14+c-b,2b+d-28,56-b-c-d
所以这种模式只要穷举a,b,c,d四个字母就可以求出所有满足条件的解
对于这种限制，总共只有四组解:
10 24 8
26 1 15
6 17 19
23 7 12
3 14 25
16 21 5
9 11 22
13 27 2
20 4 18
12 23 7
26 1 15
4 18 20
22 9 11
3 14 25
17 19 6
8 10 24
13 27 2
21 5 16
16 23 3
24 1 17
2 18 22
20 9 13
7 14 21
15 19 8
6 10 26
11 27 4
25 5 12
18 22 2
23 3 16
1 17 24
20 9 13
7 14 21
15 19 8
4 11 27
12 25 5
26 6 10
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define check(x) if((x)<=0||(x)>27||buf)continue;buf=1;
void output(int a,int b,int c,int d)
{
if(d>28-d)return;
if(56-d-2*c>2*c+d-28)return;
if(56-2*b-d>2*b+d-28)return;
if(d>56-d-2*c)return;
if(56-d-2*c>56-2*b-d)return;
printf("%d\t%d\t%d\n",a,b,42-a-b);
printf("%d\t%d\t%d\n",c,d,42-c-d);
printf("%d\t%d\t%d\n\n",42-a-c,42-b-d,a+b+c+d-42);
printf("%d\t%d\t%d\n",b+c+d-28,56-2*b-d,14+b-c);
printf("%d\t%d\t%d\n",56-d-2*c,14,2*c+d-28);
printf("%d\t%d\t%d\n\n",14+c-b,2*b+d-28,56-b-c-d);
printf("%d\t%d\t%d\n",70-a-b-c-d,b+d-14,a+c-14);
printf("%d\t%d\t%d\n",c+d-14,28-d,28-c);
printf("%d\t%d\t%d\n\n\n",a+b-14,28-b,28-a);
}
int main()
{
int a,b,c,d;
char buf;
for(a=1;a<=27;a++)for(b=1;b<=27;b++)for(c=1;c<=27;c++)for(d=1;d<=27;d++){
memset(buf,0,sizeof(buf));
buf=1;
check(b);check(c);check(d);check(14);
check(42-a-b);check(42-c-d);
check(42-a-c);check(42-b-d);check(a+b+c+d-42);
check(70-a-b-c-d);check(b+d-14);check(a+c-14);
check(c+d-14);check(28-d);check(28-c);
check(a+b-14);check(28-b);check(28-a);
check(b+c+d-28);check(56-2*b-d);check(14+b-c);
check(56-d-2*c);check(2*c+d-28);check(14+c-b);
check(2*b+d-28);check(56-b-c-d);
output(a,b,c,d);
}
}
比较申请这四组解和中心挨着的三个较小数正好都是1,3,7,9四个数中任意挑三个后。
而在确定这三格后，马上可以推算出除了8个顶点以外的所有数字。最后，由于余下数字不多，推算8个顶点处数字就比较容易了。这种方法可以作为人工复盘的方案。 $$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & 24 & —& —& — & — & 2 & —& —& — & — & 19\\& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\ & & 4 & — & — & —& — & 14 & — & — & — & —& 13 & & |\\& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\25 & — & —& —& — & 3 &—& —& — & — & 22 & & | && |\\|& & \color{red}{\vdots} & &\color{red}{9} &| &\color{red}{\cdots} & \color{red}{\vdots} &\color{red}{\cdots} &\color{red}{21} & |& \color{red}{\cdots} & | &\color{red}{\cdots}&18\\|& & \color{red}{\vdots} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & | && \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\|& & \color{red}{23} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots} & \color{red}{1} & \color{red}{\cdots} &\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&17&&|\\|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} & \color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}& | &&|\\11& — & —& —& — & 20 & — & — & —& —& 6 && | & &|\\|& & \color{red}{\vdots} && \color{red}{15}&| &\color{red}{\cdots} &\color{red}{\vdots} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{12} &|&\color{red}{\cdots}&|&\color{red}{\cdots}&7\\|& & \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}&&|&&\color{red}{\vdots} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}&&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\|& &\color{red}{10} & \color{red}{\cdots}& \color{red}{\cdots} &|&\color{red}{\cdots}& \color{red}{27} &\color{red}{\cdots}&\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&16\\|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}& & &&|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\5 & — & — & — & — & 26 & — & — & — & — & 8\\\end{array}$$$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & 20 & —& —& — & — & 2 & —& —& — & — & 21\\& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\ & & 4 & — & — & —& — & 14 & — & — & — & —& 15 & & |\\& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\25 & — & —& —& — & 3 &—& —& — & — & 22 & & | && |\\|& & \color{red}{\vdots} & &\color{red}{16} &| &\color{red}{\cdots} & \color{red}{\vdots} &\color{red}{\cdots} &\color{red}{23} & |& \color{red}{\cdots} & | &\color{red}{\cdots}&17\\|& & \color{red}{\vdots} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & | && \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\|& & \color{red}{24} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots} & \color{red}{1} & \color{red}{\cdots} &\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&10&&|\\|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} & \color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}& | &&|\\11& — & —& —& — & 18 & — & — & —& —& 6 && | & &|\\|& & \color{red}{\vdots} && \color{red}{13}&| &\color{red}{\cdots} &\color{red}{\vdots} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{12} &|&\color{red}{\cdots}&|&\color{red}{\cdots}&9\\|& & \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}&&|&&\color{red}{\vdots} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}&&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\|& &\color{red}{5} & \color{red}{\cdots}& \color{red}{\cdots} &|&\color{red}{\cdots}& \color{red}{27} &\color{red}{\cdots}&\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&19\\|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}& & &&|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\8 & — & — & — & — & 26 & — & — & — & — & 7\\\end{array}$$$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & 22 & —& —& — & — & 1 & —& —& — & — & 23\\& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\ & & 4 & — & — & —& — & 13 & — & — & — & —& 17 & & |\\& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\25 & — & —& —& — & 3 &—& —& — & — & 18 & & | && |\\|& & \color{red}{\vdots} & &\color{red}{20} &| &\color{red}{\cdots} & \color{red}{\vdots} &\color{red}{\cdots} &\color{red}{16} & |& \color{red}{\cdots} & | &\color{red}{\cdots}&21\\|& & \color{red}{\vdots} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & | && \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\|& & \color{red}{19} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots} & \color{red}{2} & \color{red}{\cdots} &\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&6&&|\\|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} & \color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}& | &&|\\10& — & —& —& — & 24 & — & — & —& —& 8 && | & &|\\|& & \color{red}{\vdots} && \color{red}{9}&| &\color{red}{\cdots} &\color{red}{\vdots} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{14} &|&\color{red}{\cdots}&|&\color{red}{\cdots}&15\\|& & \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}&&|&&\color{red}{\vdots} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}&&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\|& &\color{red}{12} & \color{red}{\cdots}& \color{red}{\cdots} &|&\color{red}{\cdots}& \color{red}{27} &\color{red}{\cdots}&\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&11\\|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}& & &&|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\5 & — & — & — & — & 26 & — & — & — & — & 7\\\end{array}$$$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & 24 & —& —& — & — & 1 & —& —& — & — & 18\\& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\ & & 4 & — & — & —& — & 13 & — & — & — & —& 20 & & |\\& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\21 & — & —& —& — & 3 &—& —& — & — & 22 & & | && |\\|& & \color{red}{\vdots} & &\color{red}{16} &| &\color{red}{\cdots} & \color{red}{\vdots} &\color{red}{\cdots} &\color{red}{23} & |& \color{red}{\cdots} & | &\color{red}{\cdots}&15\\|& & \color{red}{\vdots} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & | && \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\|& & \color{red}{25} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots} & \color{red}{2} & \color{red}{\cdots} &\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&6&&|\\|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} & \color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}& | &&|\\12& — & —& —& — & 17 & — & — & —& —& 10 && | & &|\\|& & \color{red}{\vdots} && \color{red}{5}&| &\color{red}{\cdots} &\color{red}{\vdots} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{14} &|&\color{red}{\cdots}&|&\color{red}{\cdots}&19\\|& & \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}&&|&&\color{red}{\vdots} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}&&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\|& &\color{red}{11} & \color{red}{\cdots}& \color{red}{\cdots} &|&\color{red}{\cdots}& \color{red}{27} &\color{red}{\cdots}&\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&9\\|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}& & &&|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\8 & — & — & — & — & 26 & — & — & — & — & 7\\\end{array}$$$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & 23 & —& —& — & — & 1 & —& —& — & — & 17\\& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\ & & 4 & — & — & —& — & 12 & — & — & — & —& 20 & & |\\& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\25 & — & —& —& — & 2 &—& —& — & — & 22 & & | && |\\|& & \color{red}{\vdots} & &\color{red}{19} &| &\color{red}{\cdots} & \color{red}{\vdots} &\color{red}{\cdots} &\color{red}{18} & |& \color{red}{\cdots} & | &\color{red}{\cdots}&15\\|& & \color{red}{\vdots} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & | && \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\|& & \color{red}{24} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots} & \color{red}{3} & \color{red}{\cdots} &\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&13&&|\\|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} & \color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}& | &&|\\6& — & —& —& — & 21 & — & — & —& —& 7 && | & &|\\|& & \color{red}{\vdots} && \color{red}{5}&| &\color{red}{\cdots} &\color{red}{\vdots} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{16} &|&\color{red}{\cdots}&|&\color{red}{\cdots}&14\\|& & \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; 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transform: rotate(45deg)}{|} &|\\ & & 4 & — & — & —& — & 12 & — & — & — & —& 21 & & |\\& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\25 & — & —& —& — & 2 &—& —& — & — & 20 & & | && |\\|& & \color{red}{\vdots} & &\color{red}{19} &| &\color{red}{\cdots} & \color{red}{\vdots} &\color{red}{\cdots} &\color{red}{15} & |& \color{red}{\cdots} & | &\color{red}{\cdots}&17\\|& & \color{red}{\vdots} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & | && \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\|& & \color{red}{22} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots} & \color{red}{3} & \color{red}{\cdots} &\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&13&&|\\|&\require{HTML} \style{display: inline-block; 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transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}&&|&&\color{red}{\vdots} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}&&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\|& &\color{red}{16} & \color{red}{\cdots}& \color{red}{\cdots} &|&\color{red}{\cdots}& \color{red}{15} &\color{red}{\cdots}&\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&20\\|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}& & &&|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\8 & — & — & — & — & 27 & — & — & — & — & 6\\\end{array}$$$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & 24 & —& —& — & — & 2 & —& —& — & — & 23\\& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\ & & 11 & — & — & —& — & 1 & — & — & — & —& 22 & & |\\& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\16 & — & —& —& — & 14 &—& —& — & — & 13 & & | && |\\|& & \color{red}{\vdots} & &\color{red}{19} &| &\color{red}{\cdots} & \color{red}{\vdots} &\color{red}{\cdots} &\color{red}{9} & |& \color{red}{\cdots} & | &\color{red}{\cdots}&6\\|& & \color{red}{\vdots} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & | && \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\|& & \color{red}{10} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots} & \color{red}{26} & \color{red}{\cdots} &\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&8&&|\\|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} & \color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}& | &&|\\20& — & —& —& — & 7 & — & — & —& —& 21 && | & &|\\|& & \color{red}{\vdots} && \color{red}{4}&| &\color{red}{\cdots} &\color{red}{\vdots} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{25} &|&\color{red}{\cdots}&|&\color{red}{\cdots}&12\\|& & \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}&&|&&\color{red}{\vdots} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}&&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\|& &\color{red}{17} & \color{red}{\cdots}& \color{red}{\cdots} &|&\color{red}{\cdots}& \color{red}{15} &\color{red}{\cdots}&\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&18\\|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}& & &&|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\5 & — & — & — & — & 27 & — & — & — & — & 3\\\end{array}$$$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & 21 & —& —& — & — & 2 & —& —& — & — & 20\\& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\ & & 9 & — & — & —& — & 1 & — & — & — & —& 23 & & |\\& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\19 & — & —& —& — & 16 &—& —& — & — & 15 & & | && |\\|& & \color{red}{\vdots} & &\color{red}{22} &| &\color{red}{\cdots} & \color{red}{\vdots} &\color{red}{\cdots} &\color{red}{10} & |& \color{red}{\cdots} & | &\color{red}{\cdots}&4\\|& & \color{red}{\vdots} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & | && \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\|& & \color{red}{11} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots} & \color{red}{27} & \color{red}{\cdots} &\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&17&&|\\|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} & \color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}& | &&|\\18& — & —& —& — & 5 & — & — & —& —& 12 && | & &|\\|& & \color{red}{\vdots} && \color{red}{6}&| &\color{red}{\cdots} &\color{red}{\vdots} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{25} &|&\color{red}{\cdots}&|&\color{red}{\cdots}&3\\|& & \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}&&|&&\color{red}{\vdots} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}&&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\|& &\color{red}{13} & \color{red}{\cdots}& \color{red}{\cdots} &|&\color{red}{\cdots}& \color{red}{14} &\color{red}{\cdots}&\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&24\\|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}& & &&|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\7 & — & — & — & — & 26 & — & — & — & — & 8\\\end{array}$$$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & 23 & —& —& — & — & 2 & —& —& — & — & 18\\& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\ & & 9 & — & — & —& — & 1 & — & — & — & —& 24 & & |\\& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\20 & — & —& —& — & 16 &—& —& — & — & 13 & & | && |\\|& & \color{red}{\vdots} & &\color{red}{22} &| &\color{red}{\cdots} & \color{red}{\vdots} &\color{red}{\cdots} &\color{red}{7} & |& \color{red}{\cdots} & | &\color{red}{\cdots}&3\\|& & \color{red}{\vdots} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & | && \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\|& & \color{red}{12} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots} & \color{red}{27} & \color{red}{\cdots} &\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&19&&|\\|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} & \color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}& | &&|\\11& — & —& —& — & 8 & — & — & —& —& 17 && | & &|\\|& & \color{red}{\vdots} && \color{red}{4}&| &\color{red}{\cdots} &\color{red}{\vdots} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{25} &|&\color{red}{\cdots}&|&\color{red}{\cdots}&6\\|& & \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}&&|&&\color{red}{\vdots} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}&&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\|& &\color{red}{15} & \color{red}{\cdots}& \color{red}{\cdots} &|&\color{red}{\cdots}& \color{red}{14} &\color{red}{\cdots}&\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&21\\|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}& & &&|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\10 & — & — & — & — & 26 & — & — & — & — & 5\\\end{array}$$ 本来想着用latex画一个出来，谁知道画失败了...～
$$\begin{array}{ccccccccccc}
& & & & 4 & —& —& — & — & 25 & —& —& — & — & 11
\\
& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|
\\
& & 14 & — & — & —& — & 22 & — & — & — & —& 7 & & |
\\
& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}& &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}& &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\
24 & — & —& —& — & 1 &—& —& — & — & 18 & & | && |\\
|& & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & &\color{red}{13} &| &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} &\color{red}{27} & |& \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}&5\\
|& & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & | && \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\
|& & \color{red}{8} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} & \color{red}{12} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}&22&&|\\
|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}& | &&|\\
15& — & —& —& — & 3 & — & — & —& —& 21 && | & &|\\
|& & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} && \color{red}{9}&| &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} & \color{red}{26} &|&\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}&|&\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}&6\\
|& & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}&&|&&\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}&&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\
|& &\color{red}{16} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}& \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} &|&\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}& \color{red}{8} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}&\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}&17\\
|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}& & &&|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\
23 & — & — & — & — & 2& — & — & — & — & 19\\
\end{array}$$
既然无中心之说，已经给出了14，8，1，12四种数字为中心的三维三阶幻方，能不能补全其余23个数字为中心的幻方呢？ mathe 发表于 2019-3-27 07:42
$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & 24 & —& —& — & — & 2 & —& —& — & — & 19\\& & & \require ...
居然把图修改完整了，是mathe大佬完善的吧？看来我还是少了点耐心～ 本帖最后由 葡萄糖 于 2019-3-30 19:40 编辑
mathe 发表于 2019-3-27 07:42
$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & 24 & —& —& — & — & 2 & —& —& — & — & 19\\& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\ & & 4 & — & — & —& — & 14 & — & — & — & —& 13 & & |\\& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\25 & — & —& —& — & 3 &—& —& — & — & 22 & & | && |\\|& & \color{red}{\vdots} & &\color{red}{9} &| &\color{red}{\cdots} & \color{red}{\vdots} &\color{red}{\cdots} &\color{red}{21} & |& \color{red}{\cdots} & | &\color{red}{\cdots}&18\\|& & \color{red}{\vdots} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & | && \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\|& & \color{red}{23} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots} & \color{red}{1} & \color{red}{\cdots} &\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&17&&|\\|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} & \color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}& | &&|\\11& — & —& —& — & 20 & — & — & —& —& 6 && | & &|\\|& & \color{red}{\vdots} && \color{red}{15}&| &\color{red}{\cdots} &\color{red}{\vdots} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{12} &|&\color{red}{\cdots}&|&\color{red}{\cdots}&7\\|& & \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}&&|&&\color{red}{\vdots} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}&&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\|& &\color{red}{10} & \color{red}{\cdots}& \color{red}{\cdots} &|&\color{red}{\cdots}& \color{red}{27} &\color{red}{\cdots}&\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&16\\|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}& & &&|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\5 & — & — & — & — & 26 & — & — & — & — & 8\\\end{array}$$
...
LaTeX画的真好看~
另外补一个链接:lol
https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_cube 多谢葡萄糖提供的连接。我是30年前高中毕业后对此问题进行研究，用手工计算5，6年得到结果。后来在2009年发帖子在数学中国上的，到现在已有十年的时间。 大神们，能给出个125个连续正整数的三维幻方吗？即一个正立方体，边长为5，每个单独的小正方体里有一个正整数，使六个表面，三个中轴面，六个菱对角面中的25个数字和相等，有可能的话，可以使横竖纵三个方向上（即x，y，z轴方向的），每条先端上的5个数字和都一致，那就完美了，更苛刻的条件，可以先控制里层的27个数字形成三维幻方，然后在完成外套的数字填列。
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