三维三阶幻方

hujunhua

搜到了一个三维三阶可移幻方（左图）。
所谓可移，就是各副对角面上的九个数之和也是126，即左面可以移到右面之右（右到左也行，下同），上面可以移到下面之下，前面可以移到后面之后。
对于三阶而言，可移性就是三个平行面可以任意排列。
可移性使得无中心，或者说任何数都可在中心。所以所谓 8≤中心数≤20是不正确的。
可以证明，可移性等价于每行（X轴向）、每列（Y轴向）、每直（Z轴向）的三个数字之和等于42.

把幻方的数字都减去14，变成-13~13，然后转换成三位对称三进数（用 i 表示 -1），得到右图的三位对称三进数幻方，它是零和幻方。

可移三维三阶幻方

三位对称三进数零和幻方

              可移三维三阶幻方                                                                               （三位对称三进数零和幻方）

化为零和的三位对称三进数幻方后，可以清晰地看到幻方的特性：X、Y、Z三轴方向的三个数字之和等于0，并且相加时不需要进位，因为三个数的相同位上合起来刚好都是 1, 0, i 三个数码。
也就是说，它是一个三维正交拉丁方。

mathe

由于限定不足解太多，我们可以考虑更多限制，如上面hujunhua的例子，满足所有和坐标轴平行直线上三格数据和为42以及所有过中心三格数据和为42。首先容易得出此时中心必然为14。
于是设第一个面数据为
a,b,42-a-b
c,d,42-c-d
42-a-c,42-b-d,a+b+c+d-42
于是可以得出最下面一个面为
70-a-b-c-d,b+d-14,a+c-14
c+d-14,28-d,28-c
a+b-14,28-b,28-a
于是可以得出中间的面
b+c+d-28,56-2b-d,14+b-c
56-d-2c,14,2c+d-28
14+c-b,2b+d-28,56-b-c-d
所以这种模式只要穷举a,b,c,d四个字母就可以求出所有满足条件的解
对于这种限制，总共只有四组解:
10        24        8
26        1        15
6        17        19

23        7        12
3        14        25
16        21        5

9        11        22
13        27        2
20        4        18


12        23        7
26        1        15
4        18        20

22        9        11
3        14        25
17        19        6

8        10        24
13        27        2
21        5        16


16        23        3
24        1        17
2        18        22

20        9        13
7        14        21
15        19        8

6        10        26
11        27        4
25        5        12


18        22        2
23        3        16
1        17        24

20        9        13
7        14        21
15        19        8

4        11        27
12        25        5
26        6        10

1. #include <stdio.h>
   
2. #include <string.h>
   
3. #define check(x) if((x)<=0||(x)>27||buf[x])continue;buf[x]=1;
   
4. void output(int a,int b,int c,int d)
   
5. {
   
6.     if(d>28-d)return;
   
7.     if(56-d-2*c>2*c+d-28)return;
   
8.     if(56-2*b-d>2*b+d-28)return;
   
9.     if(d>56-d-2*c)return;
   
10.     if(56-d-2*c>56-2*b-d)return;
    
11.     printf("%d\t%d\t%d\n",a,b,42-a-b);
    
12.     printf("%d\t%d\t%d\n",c,d,42-c-d);
    
13.     printf("%d\t%d\t%d\n\n",42-a-c,42-b-d,a+b+c+d-42);
    
14.     printf("%d\t%d\t%d\n",b+c+d-28,56-2*b-d,14+b-c);
    
15.     printf("%d\t%d\t%d\n",56-d-2*c,14,2*c+d-28);
    
16.     printf("%d\t%d\t%d\n\n",14+c-b,2*b+d-28,56-b-c-d);
    
17.     printf("%d\t%d\t%d\n",70-a-b-c-d,b+d-14,a+c-14);
    
18.     printf("%d\t%d\t%d\n",c+d-14,28-d,28-c);
    
19.     printf("%d\t%d\t%d\n\n\n",a+b-14,28-b,28-a);
    
20. }
    
21. 
    
22. int main()
    
23. {
    
24.     int a,b,c,d;
    
25.     char buf[28];
    
26.     for(a=1;a<=27;a++)for(b=1;b<=27;b++)for(c=1;c<=27;c++)for(d=1;d<=27;d++){
    
27.          memset(buf,0,sizeof(buf));
    
28.          buf[a]=1;
    
29.          check(b);check(c);check(d);check(14);
    
30.          check(42-a-b);check(42-c-d);
    
31.          check(42-a-c);check(42-b-d);check(a+b+c+d-42);
    
32.          check(70-a-b-c-d);check(b+d-14);check(a+c-14);
    
33.          check(c+d-14);check(28-d);check(28-c);
    
34.          check(a+b-14);check(28-b);check(28-a);
    
35.          check(b+c+d-28);check(56-2*b-d);check(14+b-c);
    
36.          check(56-d-2*c);check(2*c+d-28);check(14+c-b);
    
37.          check(2*b+d-28);check(56-b-c-d);
    
38.          output(a,b,c,d);
    
39.     }
    
40. }
    

复制代码

比较申请这四组解和中心挨着的三个较小数正好都是1,3,7,9四个数中任意挑三个后。
而在确定这三格后，马上可以推算出除了8个顶点以外的所有数字。最后，由于余下数字不多，推算8个顶点处数字就比较容易了。这种方法可以作为人工复盘的方案。

mathe

$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & 24 & —& —& — & — & 2 & —& —& — & — & 19\\& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\ & & 4 & — & — & —& — & 14 & — & — & — & —& 13 & & |\\& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &  \color{red}{\vdots}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\25 & — & —& —& — & 3 &  —& —& — & — & 22 & & | &  & |\\|& & \color{red}{\vdots} & &\color{red}{9} &| &  \color{red}{\cdots} & \color{red}{\vdots} &\color{red}{\cdots} &\color{red}{21} & |  & \color{red}{\cdots} & | &\color{red}{\cdots}&18\\|& & \color{red}{\vdots} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & | &  & \color{red}{\vdots}  &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\|& & \color{red}{23} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots} & \color{red}{1} & \color{red}{\cdots} &\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&17&&|\\|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} & \color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}  & | &&|\\11  & — & —& —& — & 20 & — & — & —& —& 6 &  & | & &|\\|& & \color{red}{\vdots} &  & \color{red}{15}  &| &\color{red}{\cdots} &  \color{red}{\vdots} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{12} &|&\color{red}{\cdots}&|&\color{red}{\cdots}&7\\|& & \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}  &  &|  &  &\color{red}{\vdots} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}  &&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\|& &\color{red}{10} & \color{red}{\cdots}  & \color{red}{\cdots} &|&\color{red}{\cdots}& \color{red}{27} &\color{red}{\cdots}&\color{red}{\cdots}& | &  \color{red}{\cdots}&16\\|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}& & &  &|&  \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\5 & — & — & — & — & 26 & — & — & — & — & 8\\\end{array}$$$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & 20 & —& —& — & — & 2 & —& —& — & — & 21\\& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\ & & 4 & — & — & —& — & 14 & — & — & — & —& 15 & & |\\& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &  \color{red}{\vdots}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\25 & — & —& —& — & 3 &  —& —& — & — & 22 & & | &  & |\\|& & \color{red}{\vdots} & &\color{red}{16} &| &  \color{red}{\cdots} & \color{red}{\vdots} &\color{red}{\cdots} &\color{red}{23} & |  & \color{red}{\cdots} & | &\color{red}{\cdots}&17\\|& & \color{red}{\vdots} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & | &  & \color{red}{\vdots}  &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\|& & \color{red}{24} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots} & \color{red}{1} & \color{red}{\cdots} &\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&10&&|\\|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} & \color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}  & | &&|\\11  & — & —& —& — & 18 & — & — & —& —& 6 &  & | & &|\\|& & \color{red}{\vdots} &  & \color{red}{13}  &| &\color{red}{\cdots} &  \color{red}{\vdots} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{12} &|&\color{red}{\cdots}&|&\color{red}{\cdots}&9\\|& & \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}  &  &|  &  &\color{red}{\vdots} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}  &&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\|& &\color{red}{5} & \color{red}{\cdots}  & \color{red}{\cdots} &|&\color{red}{\cdots}& \color{red}{27} &\color{red}{\cdots}&\color{red}{\cdots}& | &  \color{red}{\cdots}&19\\|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}& & &  &|&  \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\8 & — & — & — & — & 26 & — & — & — & — & 7\\\end{array}$$$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & 22 & —& —& — & — & 1 & —& —& — & — & 23\\& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\ & & 4 & — & — & —& — & 13 & — & — & — & —& 17 & & |\\& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &  \color{red}{\vdots}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\25 & — & —& —& — & 3 &  —& —& — & — & 18 & & | &  & |\\|& & \color{red}{\vdots} & &\color{red}{20} &| &  \color{red}{\cdots} & \color{red}{\vdots} &\color{red}{\cdots} &\color{red}{16} & |  & \color{red}{\cdots} & | &\color{red}{\cdots}&21\\|& & \color{red}{\vdots} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & | &  & \color{red}{\vdots}  &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\|& & \color{red}{19} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots} & \color{red}{2} & \color{red}{\cdots} &\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&6&&|\\|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} & \color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}  & | &&|\\10  & — & —& —& — & 24 & — & — & —& —& 8 &  & | & &|\\|& & \color{red}{\vdots} &  & \color{red}{9}  &| &\color{red}{\cdots} &  \color{red}{\vdots} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{14} &|&\color{red}{\cdots}&|&\color{red}{\cdots}&15\\|& & \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}  &  &|  &  &\color{red}{\vdots} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}  &&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\|& &\color{red}{12} & \color{red}{\cdots}  & \color{red}{\cdots} &|&\color{red}{\cdots}& \color{red}{27} &\color{red}{\cdots}&\color{red}{\cdots}& | &  \color{red}{\cdots}&11\\|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}& & &  &|&  \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\5 & — & — & — & — & 26 & — & — & — & — & 7\\\end{array}$$$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & 24 & —& —& — & — & 1 & —& —& — & — & 18\\& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\ & & 4 & — & — & —& — & 13 & — & — & — & —& 20 & & |\\& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &  \color{red}{\vdots}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\21 & — & —& —& — & 3 &  —& —& — & — & 22 & & | &  & |\\|& & \color{red}{\vdots} & &\color{red}{16} &| &  \color{red}{\cdots} & \color{red}{\vdots} &\color{red}{\cdots} &\color{red}{23} & |  & \color{red}{\cdots} & | &\color{red}{\cdots}&15\\|& & \color{red}{\vdots} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & | &  & \color{red}{\vdots}  &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\|& & \color{red}{25} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots} & \color{red}{2} & \color{red}{\cdots} &\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&6&&|\\|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} & \color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}  & | &&|\\12  & — & —& —& — & 17 & — & — & —& —& 10 &  & | & &|\\|& & \color{red}{\vdots} &  & \color{red}{5}  &| &\color{red}{\cdots} &  \color{red}{\vdots} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{14} &|&\color{red}{\cdots}&|&\color{red}{\cdots}&19\\|& & \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}  &  &|  &  &\color{red}{\vdots} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}  &&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\|& &\color{red}{11} & \color{red}{\cdots}  & \color{red}{\cdots} &|&\color{red}{\cdots}& \color{red}{27} &\color{red}{\cdots}&\color{red}{\cdots}& | &  \color{red}{\cdots}&9\\|& \require{HTML} \style{display: inline-block; 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transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} & \color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}  & | &&|\\22  & — & —& —& — & 7 & — & — & —& —& 11 &  & | & &|\\|& & \color{red}{\vdots} &  & \color{red}{5}  &| &\color{red}{\cdots} &  \color{red}{\vdots} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{26} &|&\color{red}{\cdots}&|&\color{red}{\cdots}&6\\|& & \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}  &  &|  &  &\color{red}{\vdots} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}  &&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\|& &\color{red}{13} & \color{red}{\cdots}  & \color{red}{\cdots} &|&\color{red}{\cdots}& \color{red}{16} &\color{red}{\cdots}&\color{red}{\cdots}& | &  \color{red}{\cdots}&21\\|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}& & &  &|&  \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\4 & — & — & — & — & 27 & — & — & — & — & 8\\\end{array}$$$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & 23 & —& —& — & — & 2 & —& —& — & — & 18\\& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\ & & 11 & — & — & —& — & 1 & — & — & — & —& 21 & & |\\& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &  \color{red}{\vdots}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\19 & — & —& —& — & 14 &  —& —& — & — & 17 & & | &  & |\\|& & \color{red}{\vdots} & &\color{red}{24} &| &  \color{red}{\cdots} & \color{red}{\vdots} &\color{red}{\cdots} &\color{red}{3} & |  & \color{red}{\cdots} & | &\color{red}{\cdots}&7\\|& & \color{red}{\vdots} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & | &  & \color{red}{\vdots}  &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\|& & \color{red}{9} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots} & \color{red}{26} & \color{red}{\cdots} &\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&22&&|\\|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} & \color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}  & | &&|\\12  & — & —& —& — & 13 & — & — & —& —& 10 &  & | & &|\\|& & \color{red}{\vdots} &  & \color{red}{4}  &| &\color{red}{\cdots} &  \color{red}{\vdots} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{25} &|&\color{red}{\cdots}&|&\color{red}{\cdots}&5\\|& & \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}  &  &|  &  &\color{red}{\vdots} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}  &&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\|& &\color{red}{16} & \color{red}{\cdots}  & \color{red}{\cdots} &|&\color{red}{\cdots}& \color{red}{15} &\color{red}{\cdots}&\color{red}{\cdots}& | &  \color{red}{\cdots}&20\\|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}& & &  &|&  \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\8 & — & — & — & — & 27 & — & — & — & — & 6\\\end{array}$$$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & 24 & —& —& — & — & 2 & —& —& — & — & 23\\& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\ & & 11 & — & — & —& — & 1 & — & — & — & —& 22 & & |\\& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &  \color{red}{\vdots}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\16 & — & —& —& — & 14 &  —& —& — & — & 13 & & | &  & |\\|& & \color{red}{\vdots} & &\color{red}{19} &| &  \color{red}{\cdots} & \color{red}{\vdots} &\color{red}{\cdots} &\color{red}{9} & |  & \color{red}{\cdots} & | &\color{red}{\cdots}&6\\|& & \color{red}{\vdots} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & | &  & \color{red}{\vdots}  &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\|& & \color{red}{10} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots} & \color{red}{26} & \color{red}{\cdots} &\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&8&&|\\|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} & \color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}  & | &&|\\20  & — & —& —& — & 7 & — & — & —& —& 21 &  & | & &|\\|& & \color{red}{\vdots} &  & \color{red}{4}  &| &\color{red}{\cdots} &  \color{red}{\vdots} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{25} &|&\color{red}{\cdots}&|&\color{red}{\cdots}&12\\|& & \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}  &  &|  &  &\color{red}{\vdots} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}  &&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\|& &\color{red}{17} & \color{red}{\cdots}  & \color{red}{\cdots} &|&\color{red}{\cdots}& \color{red}{15} &\color{red}{\cdots}&\color{red}{\cdots}& | &  \color{red}{\cdots}&18\\|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}& & &  &|&  \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\5 & — & — & — & — & 27 & — & — & — & — & 3\\\end{array}$$$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & 21 & —& —& — & — & 2 & —& —& — & — & 20\\& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\ & & 9 & — & — & —& — & 1 & — & — & — & —& 23 & & |\\& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &  \color{red}{\vdots}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\19 & — & —& —& — & 16 &  —& —& — & — & 15 & & | &  & |\\|& & \color{red}{\vdots} & &\color{red}{22} &| &  \color{red}{\cdots} & \color{red}{\vdots} &\color{red}{\cdots} &\color{red}{10} & |  & \color{red}{\cdots} & | &\color{red}{\cdots}&4\\|& & \color{red}{\vdots} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & | &  & \color{red}{\vdots}  &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\|& & \color{red}{11} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots} & \color{red}{27} & \color{red}{\cdots} &\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&17&&|\\|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} & \color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}  & | &&|\\18  & — & —& —& — & 5 & — & — & —& —& 12 &  & | & &|\\|& & \color{red}{\vdots} &  & \color{red}{6}  &| &\color{red}{\cdots} &  \color{red}{\vdots} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{25} &|&\color{red}{\cdots}&|&\color{red}{\cdots}&3\\|& & \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}  &  &|  &  &\color{red}{\vdots} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}  &&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\|& &\color{red}{13} & \color{red}{\cdots}  & \color{red}{\cdots} &|&\color{red}{\cdots}& \color{red}{14} &\color{red}{\cdots}&\color{red}{\cdots}& | &  \color{red}{\cdots}&24\\|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}& & &  &|&  \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\7 & — & — & — & — & 26 & — & — & — & — & 8\\\end{array}$$$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & 23 & —& —& — & — & 2 & —& —& — & — & 18\\& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\ & & 9 & — & — & —& — & 1 & — & — & — & —& 24 & & |\\& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &  \color{red}{\vdots}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\20 & — & —& —& — & 16 &  —& —& — & — & 13 & & | &  & |\\|& & \color{red}{\vdots} & &\color{red}{22} &| &  \color{red}{\cdots} & \color{red}{\vdots} &\color{red}{\cdots} &\color{red}{7} & |  & \color{red}{\cdots} & | &\color{red}{\cdots}&3\\|& & \color{red}{\vdots} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & | &  & \color{red}{\vdots}  &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\|& & \color{red}{12} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots} & \color{red}{27} & \color{red}{\cdots} &\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&19&&|\\|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} & \color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}  & | &&|\\11  & — & —& —& — & 8 & — & — & —& —& 17 &  & | & &|\\|& & \color{red}{\vdots} &  & \color{red}{4}  &| &\color{red}{\cdots} &  \color{red}{\vdots} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{25} &|&\color{red}{\cdots}&|&\color{red}{\cdots}&6\\|& & \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}  &  &|  &  &\color{red}{\vdots} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}  &&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\|& &\color{red}{15} & \color{red}{\cdots}  & \color{red}{\cdots} &|&\color{red}{\cdots}& \color{red}{14} &\color{red}{\cdots}&\color{red}{\cdots}& | &  \color{red}{\cdots}&21\\|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}& & &  &|&  \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\10 & — & — & — & — & 26 & — & — & — & — & 5\\\end{array}$$

282842712474

本来想着用latex画一个出来，谁知道画失败了...～

$$\begin{array}{ccccccccccc}
& & & & 4 & —& —& — & — & 25 & —& —& — & — & 11
\\
& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|
\\
& & 14 & — & — & —& — & 22 & — & — & — & —& 7 & & |
\\
& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}& &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}& &  \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\
24 & — & —& —& — & 1 &  —& —& — & — & 18 & & | &  & |\\
|& & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & &\color{red}{13} &| &  \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} &\color{red}{27} & |  & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}&5\\
|& & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & | &  & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}  &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\
|& & \color{red}{8} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} & \color{red}{12} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}&22&&|\\
|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}  & | &&|\\
15  & — & —& —& — & 3 & — & — & —& —& 21 &  & | & &|\\
|& & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &  & \color{red}{9}  &| &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} &  \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} & \color{red}{26} &|&\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}&|&\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}&6\\
|& & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}  &  &|  &  &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}  &&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\
|& &\color{red}{16} & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}  & \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}} &|&\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}& \color{red}{8} &\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}&\require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}& | &  \require{HTML} \style{display: inline-block; opacity:0.5;}{\color{red}{\cdots}}&17\\
|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}}& & &  &|&  \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg); opacity:0.5;}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\
23 & — & — & — & — & 2  & — & — & — & — & 19\\
\end{array}$$

白新岭

既然无中心之说，已经给出了14，8，1，12四种数字为中心的三维三阶幻方，能不能补全其余23个数字为中心的幻方呢？

282842712474

mathe 发表于 2019-3-27 07:42
$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & 24 & —& —& — & — & 2 & —& —& — & — & 19\\& & & \require ...

居然把图修改完整了，是mathe大佬完善的吧？看来我还是少了点耐心～

葡萄糖

mathe 发表于 2019-3-27 07:42
$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & 24 & —& —& — & — & 2 & —& —& — & — & 19\\& & & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} & && &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &\color{red}{\vdots} && &&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\ & & 4 & — & — & —& — & 14 & — & — & — & —& 13 & & |\\& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &\color{red}{\vdots} & &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & \color{red}{\vdots}& &  \color{red}{\vdots}&&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} & | & & | \\25 & — & —& —& — & 3 &  —& —& — & — & 22 & & | &  & |\\|& & \color{red}{\vdots} & &\color{red}{9} &| &  \color{red}{\cdots} & \color{red}{\vdots} &\color{red}{\cdots} &\color{red}{21} & |  & \color{red}{\cdots} & | &\color{red}{\cdots}&18\\|& & \color{red}{\vdots} & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & | &  & \color{red}{\vdots}  &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} &| & & |&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|} &|\\|& & \color{red}{23} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots} & \color{red}{1} & \color{red}{\cdots} &\color{red}{\cdots}& | &\color{red}{\cdots}&17&&|\\|&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} & \color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots} & | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &\color{red}{\vdots} & & \color{red}{\vdots}& | &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}  & | &&|\\11  & — & —& —& — & 20 & — & — & —& —& 6 &  & | & &|\\|& & \color{red}{\vdots} &  & \color{red}{15}  &| &\color{red}{\cdots} &  \color{red}{\vdots} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{12} &|&\color{red}{\cdots}&|&\color{red}{\cdots}&7\\|& & \color{red}{\vdots}&\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}  &  &|  &  &\color{red}{\vdots} &\require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}  &&|&&|&\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\|& &\color{red}{10} & \color{red}{\cdots}  & \color{red}{\cdots} &|&\color{red}{\cdots}& \color{red}{27} &\color{red}{\cdots}&\color{red}{\cdots}& | &  \color{red}{\cdots}&16\\|& \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}}& & &  &|&  \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\color{red}{\vdots}} &&&& | & \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{|}\\5 & — & — & — & — & 26 & — & — & — & — & 8\\\end{array}$$
...

LaTeX画的真好看~
另外补一个链接
https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_cube

白新岭

多谢葡萄糖提供的连接。我是30年前高中毕业后对此问题进行研究，用手工计算5，6年得到结果。后来在2009年发帖子在数学中国上的，到现在已有十年的时间。

白新岭

大神们，能给出个125个连续正整数的三维幻方吗？即一个正立方体，边长为5，每个单独的小正方体里有一个正整数，使六个表面，三个中轴面，六个菱对角面中的25个数字和相等，有可能的话，可以使横竖纵三个方向上（即x，y，z轴方向的），每条先端上的5个数字和都一致，那就完美了，更苛刻的条件，可以先控制里层的27个数字形成三维幻方，然后在完成外套的数字填列。