三维三阶幻方

白新岭

        层        10                27                2
上        9                17                25       
20                12                4               
                                               
                                               
        层        5                13                21
中        22                14                6       
7                15                23               
                                               
                                               
        层        24                16                8
下        3                11                19       
26                1                18               

平常我们见到的都是平面幻方，三维幻方很少见。

这是一个三维幻方，上中下，左中右，前中后，9个平面，和6个对角面（棱与对棱所在平面），共计15个平面中的9个数字和都是126，只有这一种填法，其它填法经翻转，都能得到这种布局。


补充内容 (2019-3-26 17:20):
有mathe给的其它填法可知，填法不唯一，但是中心值在8-20之间可选，其余的不能构成三维三阶幻方

mathematica

看起来不错,不过要是排版好些就好了,
我怎么计算有很多组和?
一个面8组和,六个面8*6=48,不是9组呀

白新岭

用1-27之间的9个数字，之和为126的共有94293种方法，与组合数C（27,9）比较起来，占比很小，大概2%多点。

mathe

这个题目可以通过和任意一个面垂直的四个构成米字形垂面的数字和都是126得出，过中心的一条线上3个格子数字和为42.
所以利用计算机搜索可以从中心出发，然后测试过中心3条垂线上的数，会极大减少穷举的数量

mathe

发现题目结果太多太多了，比如:
24      1       18
15      3       21
23      2       19

14      22      7
8       12      22
16      8       17

4       25      11
13      27      5
9       26      6

mathe

又挑了一个中心为8的
25      1       18
12      7       19
20      2       22

4       24      14
23      8       11
17      10      15

13      21      6
3       27      16
9       26      5

白新岭

分析得到，含14的9个自然数的和为126所有组合共有21773种（9个自然数中最大的不大于27）
计算出以13或15为中心的9个数之和为126的方法数目（这里的“中心”是指含13或15的组，切有4个数小于中心数，有4个数大于中心数，最大值不大于27）：
都是有18331种方法。
当中间的数为12或16时（即9个数中，有4个小于中间数，有4个大于中间数时，用27以内的自然数）9个数字和为126的不同方法数目为：11072.
到此已经找出21773+2*18331+2*11072=80579种方法可以是9个数字和为126，并且在9个数字中最大的一个数不大于27
当以11或17为中间值时，用不大于27的9个数，使其和为126的方法各自有4860种组合。中心值从7到21可用，小于7或大于21时，不能用27以内的9个数的和得126.已分析了7种情况，还有8种情况（分别为中心值为10或18，9或19，8或20，7或21）
当以10或18为中间值时，用不大于27的9个数，使其和为126的方法各自有1568种组合
当以9或19为中间值时，用不大于27的9个数，使其和为126的方法各自有358种组合；
当以8或20为中间值时，用不大于27的9个数，使其和为126的方法各自有51种组合；
当以7或21为中间值时，用不大于27的9个数，使其和为126的方法各自有2种组合；
到此所有的情况都有了数据，所以用1-27之间的9个数，使其和为126的组合数目为：
21773+2*18331+2*11072+2*4860+2*1586+2*358+2*51+2*2=94293。一共有C（27，9）=4686825种组合方式，所以9个数字和为126的概率为：94293/4686825=0.020118737
即从1-27中任意取9个数字，之和为126的概率大于2%。
因为1-27中的9个数字和为126有94293种组合方式，在以7或21为中心时只有2种组合，所以只能以8-20的数字为中心时才能满足三维三阶幻方的要求（才有解）。

mathe

结果太多了，我进一步做了限制，要求任何穿过中心的线上的三个格子里面的数字和为42，于是必然要求中心是14。
相当于要求中心14，关于中心对称的两个格子数字和为28，以及六个面上数字和都是42*3=126.
即使在这样的限制下，结果还是非常非常之多，比如:
22      2       23
10      1       20
24      3       21

19      11      13
16      14      12
15      17      9

7       25      4
8       27      18
5       26      6

hujunhua

mathe 发表于 2019-3-26 13:57
发现题目结果太多太多了，比如:
24      1       18
15      3       21

我正怀疑呢，怎么可能是唯一解呢，连中心都不能像平面幻方那样确定。

在平面三阶幻方，设四个边心之和为E，四角之和为V，中心为C，可列方程组
E+2C=2×15（XY两中轴之和）
V+2C=2×15（两对角线之和）
E+2V=4×15（四边之和）
此足以解出E, V, C

但对于三维三阶幻方，设12个棱心之和为E，8角顶之和为V，6个面中心之和为F，体心为C，可列方程组
E+2F+3C=3×126（XYZ三坐标面之和）
2E+F+3V=6×126（6面之和）
E+2F+3V+6C=6×126（6对角面之和）
由此方程组可得 E=126+3C，F=126-3C，V=126-C，可见不能确定C。

mathe

去除对称情况，限定对称数据和为28，搜索到了3518643组不同的解