求旋转体的体积
边长为1的立方体绕着它的体对角线 AC1 旋转一周，求旋转体的体积=？ 本帖最后由 kastin 于 2019-4-18 20:10 编辑这里有图形和动画：http://www.matrix67.com/blog/archives/5981
应该是两个锥面中间夹一个单叶双曲面，这个单叶双曲面是由正方体一对棱边绕轴回转而形成的直纹面。类似下面图形效果
https://gss0.bdstatic.com/-4o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/c0%3Dbaike80%2C5%2C5%2C80%2C26/sign=33c3ab13be8f8c54f7decd7d5b404690/b219ebc4b74543a91eb4973114178a82b801149b.jpg
kastin 发表于 2019-4-18 20:09
这里有图形和动画：http://www.matrix67.com/blog/archives/5981
应该是两个锥面中间夹一个单叶双曲面，这 ...
这图像的程序在哪 圆锥的顶角为 `\pi-\arcsin \frac{2\sqrt{2}}{3}`，高为 `\frac{\sqrt{3}}{3}`. 于是圆锥体积可求。剩下只需要确定双曲面参数即可。由对称性可知，双曲面“腰线”其实就是母线（正方体棱）中点运动而成，这个“腰线”就是一个圆，半径为 `\sqrt{2}`， 于是双曲面方程为 `x^2/2+y^2/2-z^2/c^2=1`. 由于上下圆锥高度相同，故不难得知这个双曲面高度为 `\frac{\sqrt{3}}{3}`，若以腰线所在平面为 `z=0` 轴，则双曲面高度范围为 `z=-\frac{\sqrt{3}}{6}\sim \frac{\sqrt{3}}{6}`. 只是这个 `c` 有点难确定，需要知道这个双曲线的渐近线斜率才行。
补充内容 (2019-4-19 14:30):
上面写错了，应该是半径 `\sqrt{2}/2`，方程为 `2x^2+2y^2-z^2/c^2=1` 本帖最后由 葡萄糖 于 2019-4-19 09:46 编辑
kastin 发表于 2019-4-18 20:54
圆锥的顶角为 `\pi-\arcsin \frac{2\sqrt{2}}{3}`，高为 `\frac{\sqrt{3}}{3}`. 于是圆锥体积可求。剩下只 ...
Show[ParametricPlot3D[{{u, 0, 0}, {0, u, 0}, {0, 0, u}}, {u, -2, Sqrt[
3]/2}, PlotStyle -> Black],
ParametricPlot3D[{
{t, 0, Sqrt/2 - t/Sqrt},
{-(t/2), (Sqrt t)/2, Sqrt/2 - t/Sqrt},
{-(t/2), -((Sqrt t)/2), Sqrt/2 - t/Sqrt},
{Sqrt/3 - t/2, (Sqrt t)/2, Sqrt/6 - t/Sqrt},
{Sqrt/3 - t/2, -((Sqrt t)/2), Sqrt/6 - t/Sqrt},
{-(Sqrt/6) + t, Sqrt/2, Sqrt/6 - t/Sqrt},
{-(Sqrt/6) + t, -(Sqrt/2), Sqrt/6 - t/Sqrt},
{-(Sqrt/6) - t/2, Sqrt/2 - (Sqrt t)/2,
Sqrt/6 - t/Sqrt},
{-(Sqrt/6) - t/2, -(Sqrt/2) + (Sqrt t)/2,
Sqrt/6 - t/Sqrt},
{t/2, (Sqrt t)/2, -(Sqrt/2) + t/Sqrt},
{t/2, -((Sqrt t)/2), -(Sqrt/2) + t/Sqrt},
{-t, 0, -(Sqrt/2) + t/Sqrt}
}, {t, 0, Sqrt/3}, PlotStyle -> Red],
ParametricPlot3D[{
{Sqrt/3 Cos[\], Sqrt/3 Sin[\], Sqrt/6},
{Sqrt/3 Cos[\], Sqrt/3 Sin[\], -(Sqrt/6)}},
{\, 0, 2 \}, PlotStyle -> Blue]]
{Sqrt/3 - t/2, (Sqrt t)/2, Sqrt/6 - t/Sqrt},
即求如下直线绕z轴旋转形成的直纹面方程
\begin{cases}
\begin{split}
x&=&\dfrac{\sqrt6}{3}-&\quad\dfrac{1}{2}&t\\
y&=&&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&t\\
z&=&\dfrac{\sqrt3}{6}-&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&t
\end{split}
\end{cases}
\( xOz\,\)平面上的双曲线\(\,2 x^2 - 4 z^2 = 1\,\)绕\(\,z\,\)旋转所得的旋转曲面为单叶双曲面
\[ \Large{2 x^2 + 2 y^2 - 4 z^2 = 1} \] 本帖最后由 葡萄糖 于 2019-4-19 22:36 编辑
kastin 发表于 2019-4-19 14:54
绘图函数里面加一个ViewProjection -> "Orthographic"的控制命令效果会更好，因为MMA默认透视效果，不利于数学观察。 ...
谢谢提醒
\[ \Large{x^2=2\left(z-\dfrac{\sqrt3}{6}\right)^2} \]
\begin{align*}
V_{\text{Upper}}=V_{\text{Lower}}
&={\large\int}_{\frac{\sqrt{3}}{6}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\big^2\mathrm{d}z\\
&=2{\large\int}_{\frac{\sqrt{3}}{6}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(z-\dfrac{\sqrt3}{6}\right)^2\mathrm{d}z\\
&=\dfrac{2\sqrt{3}\,\pi}{27}
\end{align*}
\[ \Large{2x^2=4z^2+1} \]
\begin{align*}
V_{\text{Middle}}
&={\large\int}_{-\frac{\sqrt{3}}{6}}^{\frac{\sqrt{3}}{6}}\big^2\mathrm{d}z\\
&={\large\int}_{-\frac{\sqrt{3}}{6}}^{\frac{\sqrt{3}}{6}}\left(\dfrac{4z^2+1}{2}\right)\mathrm{d}z\\
&=\dfrac{5\sqrt{3}\,\pi}{27}
\end{align*}
\[ V=2V_{\text{Upper}}+V_{\text{Middle}}=\dfrac{9\sqrt{3}\,\pi}{27}={\color{red}{\dfrac{\sqrt{3}\,\pi}{3}\,}\,}={\color{red}{\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}\,}\,} \]
Show[RegionPlot3D[
Sqrt/6 <= z <= Sqrt/2 &&
x^2 + y^2 <= 2 (z - Sqrt/2)^2, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -1, 1},
PlotPoints -> 50, PlotStyle -> Red],
RegionPlot3D[-(Sqrt/6) <= z <= Sqrt/6 &&
2 x^2 + 2 y^2 <= 4 z^2 + 1, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -1, 1},
PlotPoints -> 50],
RegionPlot3D[-(Sqrt/2) <= z <= -(Sqrt/6) &&
x^2 + y^2 <= 2 (z + Sqrt/2)^2, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -1, 1},
PlotPoints -> 50, PlotStyle -> Red]]
...
\[ \dfrac{\pi}{\sqrt{3}}\approx1.813799364 \]
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