求旋转体的体积

markfang2050

边长为1的立方体绕着它的体对角线 AC1 旋转一周，求旋转体的体积=？

kastin

这里有图形和动画：http://www.matrix67.com/blog/archives/5981
应该是两个锥面中间夹一个单叶双曲面，这个单叶双曲面是由正方体一对棱边绕轴回转而形成的直纹面。类似下面图形效果

markfang2050

kastin 发表于 2019-4-18 20:09
这里有图形和动画：http://www.matrix67.com/blog/archives/5981
应该是两个锥面中间夹一个单叶双曲面，这 ...

这图像的程序在哪

kastin

圆锥的顶角为 `\pi-\arcsin \frac{2\sqrt{2}}{3}`，高为 `\frac{\sqrt{3}}{3}`. 于是圆锥体积可求。剩下只需要确定双曲面参数即可。由对称性可知，双曲面“腰线”其实就是母线（正方体棱）中点运动而成，这个“腰线”就是一个圆，半径为 `\sqrt{2}`， 于是双曲面方程为 `x^2/2+y^2/2-z^2/c^2=1`. 由于上下圆锥高度相同，故不难得知这个双曲面高度为 `\frac{\sqrt{3}}{3}`，若以腰线所在平面为 `z=0` 轴，则双曲面高度范围为 `z=-\frac{\sqrt{3}}{6}\sim \frac{\sqrt{3}}{6}`. 只是这个 `c` 有点难确定，需要知道这个双曲线的渐近线斜率才行。

补充内容 (2019-4-19 14:30):
上面写错了，应该是半径 `\sqrt{2}/2`，方程为 `2x^2+2y^2-z^2/c^2=1`

葡萄糖

kastin 发表于 2019-4-18 20:54
圆锥的顶角为 `\pi-\arcsin \frac{2\sqrt{2}}{3}`，高为 `\frac{\sqrt{3}}{3}`. 于是圆锥体积可求。剩下只 ...

1. Show[ParametricPlot3D[{{u, 0, 0}, {0, u, 0}, {0, 0, u}}, {u, -2, Sqrt[
   
2.    3]/2}, PlotStyle -> Black],
   
3. ParametricPlot3D[{
   
4.    {t, 0, Sqrt[3]/2 - t/Sqrt[2]},
   
5.    {-(t/2), (Sqrt[3] t)/2, Sqrt[3]/2 - t/Sqrt[2]},
   
6.    {-(t/2), -((Sqrt[3] t)/2), Sqrt[3]/2 - t/Sqrt[2]},
   
7.    {Sqrt[6]/3 - t/2, (Sqrt[3] t)/2, Sqrt[3]/6 - t/Sqrt[2]},
   
8.    {Sqrt[6]/3 - t/2, -((Sqrt[3] t)/2), Sqrt[3]/6 - t/Sqrt[2]},
   
9.    {-(Sqrt[6]/6) + t, Sqrt[2]/2, Sqrt[3]/6 - t/Sqrt[2]},
   
10.    {-(Sqrt[6]/6) + t, -(Sqrt[2]/2), Sqrt[3]/6 - t/Sqrt[2]},
    
11.    {-(Sqrt[6]/6) - t/2, Sqrt[2]/2 - (Sqrt[3] t)/2,
    
12.     Sqrt[3]/6 - t/Sqrt[2]},
    
13.    {-(Sqrt[6]/6) - t/2, -(Sqrt[2]/2) + (Sqrt[3] t)/2,
    
14.     Sqrt[3]/6 - t/Sqrt[2]},
    
15.    {t/2, (Sqrt[3] t)/2, -(Sqrt[3]/2) + t/Sqrt[2]},
    
16.    {t/2, -((Sqrt[3] t)/2), -(Sqrt[3]/2) + t/Sqrt[2]},
    
17.    {-t, 0, -(Sqrt[3]/2) + t/Sqrt[2]}
    
18.    }, {t, 0, Sqrt[6]/3}, PlotStyle -> Red],
    
19. ParametricPlot3D[{
    
20.    {Sqrt[6]/3 Cos[\[Theta]], Sqrt[6]/3 Sin[\[Theta]], Sqrt[3]/6},
    
21.    {Sqrt[6]/3 Cos[\[Theta]], Sqrt[6]/3 Sin[\[Theta]], -(Sqrt[3]/6)}},
    
22.   {\[Theta], 0, 2 \[Pi]}, PlotStyle -> Blue]]

复制代码

{Sqrt[6]/3 - t/2, (Sqrt[3] t)/2, Sqrt[3]/6 - t/Sqrt[2]},
即求如下直线绕z轴旋转形成的直纹面方程
\begin{cases}  
\begin{split}      
x&=&\dfrac{\sqrt6}{3}-&\quad\dfrac{1}{2}&t\\      
y&=&&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&t\\   
z&=&\dfrac{\sqrt3}{6}-&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&t  
\end{split}  
\end{cases}
\( xOz\,\)平面上的双曲线\(\,2 x^2 - 4 z^2 = 1\,\)绕\(\,z\,\)旋转所得的旋转曲面为单叶双曲面
\[ \Large{2 x^2 + 2 y^2 - 4 z^2 = 1} \]

葡萄糖

kastin 发表于 2019-4-19 14:54
绘图函数里面加一个ViewProjection -> "Orthographic"的控制命令效果会更好，因为MMA默认透视效果，不利于数学观察。 ...

谢谢提醒
\[ \Large{x^2=2\left(z-\dfrac{\sqrt3}{6}\right)^2} \]
\begin{align*}
V_{\text{Upper}}=V_{\text{Lower}}
&={\large\int}_{\frac{\sqrt{3}}{6}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\big[x_{\overset{\,}{1}}(z)\big]^2\mathrm{d}z\\
&=2{\large\int}_{\frac{\sqrt{3}}{6}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(z-\dfrac{\sqrt3}{6}\right)^2\mathrm{d}z\\
&=\dfrac{2\sqrt{3}\,\pi}{27}
\end{align*}
\[ \Large{2x^2=4z^2+1} \]
\begin{align*}
V_{\text{Middle}}
&={\large\int}_{-\frac{\sqrt{3}}{6}}^{\frac{\sqrt{3}}{6}}\big[x_{\overset{\,}{2}}(z)\big]^2\mathrm{d}z\\
&={\large\int}_{-\frac{\sqrt{3}}{6}}^{\frac{\sqrt{3}}{6}}\left(\dfrac{4z^2+1}{2}\right)\mathrm{d}z\\
&=\dfrac{5\sqrt{3}\,\pi}{27}
\end{align*}
\[ V=2V_{\text{Upper}}+V_{\text{Middle}}=\dfrac{9\sqrt{3}\,\pi}{27}={\color{red}{\dfrac{\sqrt{3}\,\pi}{3}\,}\,}={\color{red}{\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}\,}\,} \]

1. Show[RegionPlot3D[
   
2.   Sqrt[3]/6 <= z <= Sqrt[3]/2 &&
   
3.    x^2 + y^2 <= 2 (z - Sqrt[3]/2)^2, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -1, 1},
   
4.      PlotPoints -> 50, PlotStyle -> Red],
   
5. RegionPlot3D[-(Sqrt[3]/6) <= z <= Sqrt[3]/6 &&
   
6.    2 x^2 + 2 y^2 <= 4 z^2 + 1, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -1, 1},
   
7.      PlotPoints -> 50],
   
8. RegionPlot3D[-(Sqrt[3]/2) <= z <= -(Sqrt[3]/6) &&
   
9.    x^2 + y^2 <= 2 (z + Sqrt[3]/2)^2, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -1, 1},
   
10.      PlotPoints -> 50, PlotStyle -> Red]]

复制代码

...
\[ \dfrac{\pi}{\sqrt{3}}\approx1.813799364 \]