一道几何题求角度
求图中角度 本帖最后由 mathematica 于 2019-5-14 08:31 编辑(*计算∠ADE*)
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
NSolve[{
BD==1,(*平面图形相似性,不妨假设BD=1*)
deg==Pi/180,
BD/Sin==AD/Sin,(*△ABD正弦定理*)
AD/Sin==CD/Sin,(*正弦定理*)
BD+CD==BC,
BC/Sin==BE/Sin,(*正弦定理*)
Tan==BE/BD,
0<BDE<90,
ADE*deg==Pi/2-20*deg-BDE*deg
},{BD,deg,AD,CD,BC,BE,BDE,ADE},30
]
{{BD -> 1.00000000000000000000000000000,
deg -> 0.0174532925199432957692369076849,
AD -> 2.92380440016308725223275441336,
CD -> 2.27431608520651522567533590384,
BC -> 3.27431608520651522567533590384,
BE -> 0.577350269189625764509148780502,
BDE -> 30.0000000000000000000000000000,
ADE -> 40.0000000000000000000000000001}} 找到一种平面几何方法，还是感觉有点麻烦
如图，做E关于B点对称点F,于是角FAC=角FCA=50°，所以三角形FAC等腰，FA=FC。
做三角形ACD外接圆，圆心为O,于是由对称性得知FGO三点共线。
由于角DOC=2角DAC=60°，所以三角形ODC为正三角形，DC=DO
由于BC为EF中垂线，ED=FD，而且EC=CF=AF.
又因为角AOC=2(180°-角ADC)=140°，所以角CAO=（180°-140°）/2=20°
得出角FAO=50°+20°=70°，而角FOA=1/2角AOC=70°，所以三角形FAO等腰，FA=FO
由此得出 EC=AF=FO,于是三角形EDC和三角形EFO三边对应相等，是全等三角形。
角FDO=角EDC,所以角FDE=角ODC=60°，三角形EDF是正三角形
所以角FED=60°，角DEG=80°-60°=20°，角EDG=180°-120°-20°=40°。
mathe 发表于 2019-5-29 18:35
找到一种平面几何方法，还是感觉有点麻烦
如图，做E关于B点对称点F,于是角FAC=角FCA=50°，所以三角形FA ...
我第一感觉你这在凑答案 原题就是求图中的角度是20度啦。
根据对称性就可以求吧。
看上去很不错，不过需要证明添加这条线和外接圆相切 本帖最后由 王守恩 于 2019-5-31 19:25 编辑
\(解法1：\frac{\sin∠ODE \sin∠OEA \sin∠OAC \sin∠OCD}{\sin∠OED \sin∠OAE \sin∠OCA \sin∠ODC}=\frac{\sin k \sin100 \sin30 \sin10}{\sin(60-k)\ sin20 \sin30 \sin110}=1\ \ 解得 \ \ k=40\ \ (2楼的解法)\)
\(解法2：∠EDA=∠BDA-∠BDE=70-\arctan\frac{BE}{BD}=70-\arctan\frac{BC\tan10}{AB\tan20}=70-\arctan\frac{\tan50\tan10}{\tan20}=70-30=40\)
\(解法3：(还是2楼的解法)\)
在三角形ABC中，\(\frac{AB}{\sin40}=\frac{BC}{\sin50}=\frac{CA}{\sin90}\)
在三角形BCE中，\(\frac{BC}{\frac{\sin80*\sin50}{\sin80}}=\frac{CE}{\frac{\sin90*\sin50}{\sin80}}=\frac{EB}{\frac{\sin10*\sin50}{\sin80}}\)
在三角形ABD中，\(\frac{AB}{\frac{\sin70*\sin40}{\sin70}}=\frac{BD}{\frac{\sin20*\sin40}{\sin70}}=\frac{DA}{\frac{\sin90*\sin40}{\sin70}}\)
在三角形EBD中，\(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{EB}{BD}=\frac{\frac{\sin10*\sin50}{\sin80}}{\frac{\sin20*\sin40}{\sin70}}\ \ 解得\ \ \theta=30\) 本帖最后由 chyanog 于 2019-5-31 19:13 编辑
用一下Mathematica 12 SyntheticGeometry 方面的新函数
RandomInstance[
GeometricScene[{{a->{0,0},b,c->{1,0},d,e},{x}},
{
Triangle[{a,b,c}],
d∈Line[{b,c}],
e∈Line[{a,b}],
PlanarAngle[{b,a,d}]==20°,
PlanarAngle[{d,a,c}]==30°,
PlanarAngle[{a,b,c}]==90°,
PlanarAngle[{b,c,e}]==10°,
PlanarAngle[{a,d,e}]==x
}
]
]
x/°/. %["Quantities"]
画图和计算内部主要由FindMinimum实现 王守恩 发表于 2019-5-31 08:38
\(解法1：\frac{\sin∠ODE \sin∠OEA \sin∠OAC \sin∠OCD}{\sin∠OED \sin∠OAE \sin∠OCA \sin∠ODC}=\fr ...
看明白你的解法1了，角元塞瓦定理！ 几年过去了，现在只需要瞪一瞪眼就可以了。
\(\D\frac{\sin(k)\sin(10)\sin(30)\sin(100)}{\sin(110)\sin(30)\sin(20)\sin(60-k)}\)
\(=\D\frac{\sin(k)\sin(10)\sin(100)}{\sin(110)\sin(20)\sin(60-k)}\)
\(=\D\frac{\sin(k)\sin(10)\cos(10)}{\sin(110)\sin(20)\sin(60-k)}\)
\(=\D\frac{\sin(k)}{2\sin(110)\sin(60-k)}\)
\(=\D\frac{\sin(40)}{2\sin(20)\sin(20)}\)
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