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[讨论] 一道几何题求角度

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发表于 2019-5-13 22:14:54 来自手机 | 显示全部楼层 |阅读模式

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求图中角度
-5d8628891d57b81e.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-5-14 08:30:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2019-5-14 08:31 编辑
  1. (*计算∠ADE*)
  2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  3. NSolve[{
  4.     BD==1,(*平面图形相似性,不妨假设BD=1*)
  5.     deg==Pi/180,
  6.     BD/Sin[20*deg]==AD/Sin[90*deg],(*△ABD正弦定理*)
  7.     AD/Sin[40*deg]==CD/Sin[30*deg],(*正弦定理*)
  8.     BD+CD==BC,
  9.     BC/Sin[80*deg]==BE/Sin[10*deg],(*正弦定理*)
  10.     Tan[BDE*deg]==BE/BD,
  11.     0<BDE<90,
  12.     ADE*deg==Pi/2-20*deg-BDE*deg
  13. },{BD,deg,AD,CD,BC,BE,BDE,ADE},30
  14. ]
复制代码


{{BD -> 1.00000000000000000000000000000,
  deg -> 0.0174532925199432957692369076849,
  AD -> 2.92380440016308725223275441336,
  CD -> 2.27431608520651522567533590384,
  BC -> 3.27431608520651522567533590384,
  BE -> 0.577350269189625764509148780502,
  BDE -> 30.0000000000000000000000000000,
  ADE -> 40.0000000000000000000000000001}}
QQ截图20190514075203.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-5-29 18:35:44 | 显示全部楼层
找到一种平面几何方法,还是感觉有点麻烦
4t.png
如图,做E关于B点对称点F,于是角FAC=角FCA=50°,所以三角形FAC等腰,FA=FC。
做三角形ACD外接圆,圆心为O,于是由对称性得知FGO三点共线。
由于角DOC=2角DAC=60°,所以三角形ODC为正三角形,DC=DO
由于BC为EF中垂线,ED=FD,而且EC=CF=AF.
又因为角AOC=2(180°-角ADC)=140°,所以角CAO=(180°-140°)/2=20°
得出角FAO=50°+20°=70°,而角FOA=1/2角AOC=70°,所以三角形FAO等腰,FA=FO
由此得出 EC=AF=FO,于是三角形EDC和三角形EFO三边对应相等,是全等三角形。
角FDO=角EDC,所以角FDE=角ODC=60°,三角形EDF是正三角形
所以角FED=60°,角DEG=80°-60°=20°,角EDG=180°-120°-20°=40°。

点评

我写的答案,思路很清晰  发表于 2019-5-30 10:44
……看懂了  发表于 2019-5-29 20:17
为啥GA=GC啊……平几渣渣表示没看懂  发表于 2019-5-29 20:16
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-5-30 10:43:37 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2019-5-29 18:35
找到一种平面几何方法,还是感觉有点麻烦

如图,做E关于B点对称点F,于是角FAC=角FCA=50°,所以三角形FA ...

我第一感觉你这在凑答案
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-5-30 17:35:44 | 显示全部楼层
原题就是求图中的角度是20度啦。
根据对称性就可以求吧。


18p.jpg

点评

没看懂  发表于 2019-5-31 09:37
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-5-30 19:14:23 来自手机 | 显示全部楼层
看上去很不错,不过需要证明添加这条线和外接圆相切
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-5-31 08:38:49 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-5-31 19:25 编辑

\(解法1:\frac{\sin∠ODE \sin∠OEA \sin∠OAC \sin∠OCD}{\sin∠OED \sin∠OAE \sin∠OCA \sin∠ODC}=\frac{\sin k \sin100 \sin30 \sin10}{\sin(60-k)\ sin20 \sin30 \sin110}=1\ \ 解得 \ \ k=40\ \ (2楼的解法)\)

\(解法2:∠EDA=∠BDA-∠BDE=70-\arctan\frac{BE}{BD}=70-\arctan\frac{BC\tan10}{AB\tan20}=70-\arctan\frac{\tan50\tan10}{\tan20}=70-30=40\)

\(解法3:(还是2楼的解法)\)

在三角形ABC中,\(\frac{AB}{\sin40}=\frac{BC}{\sin50}=\frac{CA}{\sin90}\)

在三角形BCE中,\(\frac{BC}{\frac{\sin80*\sin50}{\sin80}}=\frac{CE}{\frac{\sin90*\sin50}{\sin80}}=\frac{EB}{\frac{\sin10*\sin50}{\sin80}}\)

在三角形ABD中,\(\frac{AB}{\frac{\sin70*\sin40}{\sin70}}=\frac{BD}{\frac{\sin20*\sin40}{\sin70}}=\frac{DA}{\frac{\sin90*\sin40}{\sin70}}\)

在三角形EBD中,\(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{EB}{BD}=\frac{\frac{\sin10*\sin50}{\sin80}}{\frac{\sin20*\sin40}{\sin70}}\ \ 解得\ \ \theta=30\)

点评

解法2看懂了,但是解法1没看懂  发表于 2019-5-31 09:46
没有任何注释,看不懂  发表于 2019-5-31 09:37
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-5-31 19:02:48 | 显示全部楼层
本帖最后由 chyanog 于 2019-5-31 19:13 编辑

用一下Mathematica 12 SyntheticGeometry 方面的新函数
20190531191307645.png

  1. RandomInstance[
  2. GeometricScene[{{a->{0,0},b,c->{1,0},d,e},{x}},
  3. {
  4.   Triangle[{a,b,c}],
  5.   d∈Line[{b,c}],
  6.   e∈Line[{a,b}],
  7.   PlanarAngle[{b,a,d}]==20°,
  8.   PlanarAngle[{d,a,c}]==30°,
  9.   PlanarAngle[{a,b,c}]==90°,
  10.   PlanarAngle[{b,c,e}]==10°,
  11.   PlanarAngle[{a,d,e}]==x
  12. }
  13. ]
  14. ]
  15. x/°/. %["Quantities"]
复制代码


画图和计算内部主要由FindMinimum实现
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