一道几何题求角度

haizhou

求图中角度

mathematica

1. (*计算∠ADE*)
   
2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
3. NSolve[{
   
4.     BD==1,(*平面图形相似性,不妨假设BD=1*)
   
5.     deg==Pi/180,
   
6.     BD/Sin[20*deg]==AD/Sin[90*deg],(*△ABD正弦定理*)
   
7.     AD/Sin[40*deg]==CD/Sin[30*deg],(*正弦定理*)
   
8.     BD+CD==BC,
   
9.     BC/Sin[80*deg]==BE/Sin[10*deg],(*正弦定理*)
   
10.     Tan[BDE*deg]==BE/BD,
    
11.     0<BDE<90,
    
12.     ADE*deg==Pi/2-20*deg-BDE*deg
    
13. },{BD,deg,AD,CD,BC,BE,BDE,ADE},30
    
14. ]
    

复制代码

{{BD -> 1.00000000000000000000000000000,
  deg -> 0.0174532925199432957692369076849,
  AD -> 2.92380440016308725223275441336,
  CD -> 2.27431608520651522567533590384,
  BC -> 3.27431608520651522567533590384,
  BE -> 0.577350269189625764509148780502,
  BDE -> 30.0000000000000000000000000000,
  ADE -> 40.0000000000000000000000000001}}

mathe

找到一种平面几何方法，还是感觉有点麻烦

如图，做E关于B点对称点F,于是角FAC=角FCA=50°，所以三角形FAC等腰，FA=FC。
做三角形ACD外接圆，圆心为O,于是由对称性得知FGO三点共线。
由于角DOC=2角DAC=60°，所以三角形ODC为正三角形，DC=DO
由于BC为EF中垂线，ED=FD，而且EC=CF=AF.
又因为角AOC=2(180°-角ADC)=140°，所以角CAO=（180°-140°）/2=20°
得出角FAO=50°+20°=70°，而角FOA=1/2角AOC=70°，所以三角形FAO等腰，FA=FO
由此得出 EC=AF=FO,于是三角形EDC和三角形EFO三边对应相等，是全等三角形。
角FDO=角EDC,所以角FDE=角ODC=60°，三角形EDF是正三角形
所以角FED=60°，角DEG=80°-60°=20°，角EDG=180°-120°-20°=40°。

mathematica

mathe 发表于 2019-5-29 18:35
找到一种平面几何方法，还是感觉有点麻烦

如图，做E关于B点对称点F,于是角FAC=角FCA=50°，所以三角形FA ...

我第一感觉你这在凑答案

zgg___

原题就是求图中的角度是20度啦。
根据对称性就可以求吧。

mathe

看上去很不错，不过需要证明添加这条线和外接圆相切

王守恩

\(解法1：\frac{\sin∠ODE \sin∠OEA \sin∠OAC \sin∠OCD}{\sin∠OED \sin∠OAE \sin∠OCA \sin∠ODC}=\frac{\sin k \sin100 \sin30 \sin10}{\sin(60-k)\ sin20 \sin30 \sin110}=1\ \ 解得 \ \ k=40\ \ (2楼的解法)\)

\(解法2：∠EDA=∠BDA-∠BDE=70-\arctan\frac{BE}{BD}=70-\arctan\frac{BC\tan10}{AB\tan20}=70-\arctan\frac{\tan50\tan10}{\tan20}=70-30=40\)

\(解法3：(还是2楼的解法)\)

在三角形ABC中，\(\frac{AB}{\sin40}=\frac{BC}{\sin50}=\frac{CA}{\sin90}\)

在三角形BCE中，\(\frac{BC}{\frac{\sin80*\sin50}{\sin80}}=\frac{CE}{\frac{\sin90*\sin50}{\sin80}}=\frac{EB}{\frac{\sin10*\sin50}{\sin80}}\)

在三角形ABD中，\(\frac{AB}{\frac{\sin70*\sin40}{\sin70}}=\frac{BD}{\frac{\sin20*\sin40}{\sin70}}=\frac{DA}{\frac{\sin90*\sin40}{\sin70}}\)

在三角形EBD中，\(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{EB}{BD}=\frac{\frac{\sin10*\sin50}{\sin80}}{\frac{\sin20*\sin40}{\sin70}}\ \ 解得\ \ \theta=30\)

chyanog

用一下Mathematica 12 SyntheticGeometry 方面的新函数

1. RandomInstance[
   
2. GeometricScene[{{a->{0,0},b,c->{1,0},d,e},{x}},
   
3. {
   
4.   Triangle[{a,b,c}],
   
5.   d∈Line[{b,c}],
   
6.   e∈Line[{a,b}],
   
7.   PlanarAngle[{b,a,d}]==20°,
   
8.   PlanarAngle[{d,a,c}]==30°,
   
9.   PlanarAngle[{a,b,c}]==90°,
   
10.   PlanarAngle[{b,c,e}]==10°,
    
11.   PlanarAngle[{a,d,e}]==x
    
12. }
    
13. ]
    
14. ]
    
15. x/°/. %["Quantities"]

复制代码

画图和计算内部主要由FindMinimum实现

nyy

王守恩 发表于 2019-5-31 08:38
\(解法1：\frac{\sin∠ODE \sin∠OEA \sin∠OAC \sin∠OCD}{\sin∠OED \sin∠OAE \sin∠OCA \sin∠ODC}=\fr ...

看明白你的解法1了，角元塞瓦定理！

王守恩

几年过去了，现在只需要瞪一瞪眼就可以了。

\(\D\frac{\sin(k)\sin(10)\sin(30)\sin(100)}{\sin(110)\sin(30)\sin(20)\sin(60-k)}\)

\(=\D\frac{\sin(k)\sin(10)\sin(100)}{\sin(110)\sin(20)\sin(60-k)}\)

\(=\D\frac{\sin(k)\sin(10)\cos(10)}{\sin(110)\sin(20)\sin(60-k)}\)

\(=\D\frac{\sin(k)}{2\sin(110)\sin(60-k)}\)

\(=\D\frac{\sin(40)}{2\sin(20)\sin(20)}\)